케일리의 정리

정리

군론에서 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 모든 대칭군부분군과 동형이라는 정리이다.[1] 아서 케일리의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 순열군을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 정칙표현(正則表現)이라고 한다.

집합 위의 순열이란 에서 로 가는 전단사이다. 위의 모든 순열은 함수의 합성을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 위의 대칭군이라 하며 라 쓴다.[2] 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 순열군과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “유한군이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”.[3]

케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다.[4][5]

역사편집

케일리는 현대와 같은 을 처음으로 정의한 사람이다. 그 전까지 군(group)은 오늘날의 순열군을 뜻하는 말이었다. 케일리의 정리는 두 개념이 동치임을 보여준다.

1911년에 윌리엄 번사이드는 케일리의 정리를 1870년에 카미유 조르당이 처음 발표했다고 했지만,[6][7] 에릭 누멜라는 일반적으로 쓰이는 이름인 “케일리의 정리”라는 이름이 사실 더 알맞다고 본다.[8] 케일리는 자신의 1854년 논문에서[9] 군과 순열군 사이에 일대일 대응을 만들 수 있음을 보였지만, 그 대응이 군 준동형사상임을 명시적으로 증명하지는 않았다. 하지만 누멜라는 케일리가 조르당보다 16년 앞서 수학계에 이 결과를 알렸다고 지적한다.

이후 발터 뒤크가 1882년에 자기 책에 케일리의 정리를 실었고[10] 번사이드의 책의 1897년 초판에서는 케일리의 정리를 증명한 사람이 뒤크라고 소개했다.[11]

증명편집

 의 각 원소  에 대해 함수   로 정의하자. 이 함수는 역함수  을 지니므로,   위의 순열이고,  의 원소이다.

그러면   의 부분군으로서  와 동형이다. 이를 보이는 가장 빠른 방법은 함수   로 정의하는 것이다. 그러면 모든  에 대해

 

이므로,

 

가 되어,  가 군 준동형사상임을 알 수 있다.

또 준동형사상  는 단사인데, 왜냐하면 만약  라면 소거법칙에 의해  여야 하기 때문이다. 따라서   와 동형이다.

정칙표현편집

위 증명에서   정칙표현이라고 부른다. 또   왼쪽 정칙표현이라고 하는데,  로 정의되는 오른쪽 정칙표현을 사용해도 상관없다.

 의 항등원은 항등순열에 대응하고, 나머지 모든 원소는 교란순열에 대응한다. 이는 그 원소의 위수보다 낮은 지수의 거듭제곱인 원소도 마찬가지이므로, 각 원소는 똑같은 길이를 가진 순환치환들의 곱이다. 이때 순환치환의 길이는 그 원소의 위수와 같다. 각 순환치환의 원소들은 그 원소가 생성하는 부분군의 왼쪽 잉여류를 이룬다.

예를 들어 대칭군  의 정칙표현은 다음과 같다.

* e a b c d f 순열 표현
e e a b c d f e
a a e d f b c (12)(35)(46)
b b f e d c a (13)(26)(45)
c c d f e a b (14)(25)(36)
d d c a b f e (156)(243)
f f b c a e d (165)(234)

각주편집

  1. Jacobson (2009, 38쪽)
  2. Jacobson (2009, 31쪽)
  3. J. L. Alperin; Rowen B. Bell (1995). 《Groups and representations》. Springer. 29쪽. ISBN 978-0-387-94525-5. 
  4. Johnson, D. L. (1971). “Minimal Permutation Representations of Finite Groups”. 《American Journal of Mathematics》 93 (4): 857. doi:10.2307/2373739. JSTOR 2373739. 
  5. Grechkoseeva, M. A. (2003). “On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups”. 《Siberian Mathematical Journal》 44 (3): 443–462. doi:10.1023/A:1023860730624. 
  6. Burnside, William (1911), 《Theory of Groups of Finite Order》 2판, Cambridge, 22쪽, ISBN 0-486-49575-2 
  7. Jordan, Camille (1870), 《Traite des substitutions et des equations algebriques》, Paris: Gauther-Villars 
  8. Nummela, Eric (1980), “Cayley's Theorem for Topological Groups”, 《American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) 87 (3): 202–203, doi:10.2307/2321608, JSTOR 2321608 
  9. Cayley, Arthur (1854), “On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1”, 《Philosophical Magazine》 7 (42): 40–47 
  10. von Dyck, Walther (1882), “Gruppentheoretische Studien” [Group-theoretical Studies], 《Mathematische Annalen》 20 (1): 30, doi:10.1007/BF01443322, hdl:2027/njp.32101075301422, ISSN 0025-5831 . (독일어)
  11. Burnside, William (1897), 《Theory of Groups of Finite Order》 1판, Cambridge, 22쪽 

참고 문헌편집

같이 보기편집