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속의, 의 잉여류들

잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋[*])는 군론에서, 어떤 부분군으로의 곱셈에 대한 궤도들의 집합이다.

목차

정의편집

 이고,  가 그 부분군이며,   의 원소일 때,  가 속하는  왼쪽 잉여류(영어: left coset)는 다음과 같다.

 

마찬가지로,  가 속하는  오른쪽 잉여류(영어: right coset)는 다음과 같다.

 

(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를   로 표기한다.)

  속의  의 모든 잉여류의 집합을  라고 표기한다. (만약  정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.)  크기 라고 표기하며,    속에서의 지표(指標, 영어: index)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 잉여류들의 수이다.

잉여류 공간편집

 위상군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 집합  는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간(영어: coset space)이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.

성질편집

 의 부분군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 모든  에 대하여,  이다.
  •   정규 부분군이다.

만약  유한군이라면, 부분군  의 지표는 다음과 같다.

 

만약 일련의 부분군들  이 주어졌다면,

 

이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로,   의 최소 소인수라면, 지표가  인 부분군은 항상 정규 부분군이다.

편집

정수의 덧셈군   속의,  의 배수들로 구성된 부분군

 

을 생각하자. 그렇다면,  의 잉여류

 

 합동인 정수들의 집합이다. 이 경우  정규 부분군이므로, 잉여류 공간  몫군을 이루며, 이는 크기  순환군이다.

외부 링크편집

같이 보기편집