동축원 다발

기하학에서 동축원 다발(同軸圓-, 영어: pencil of coaxal circles)은 같은 근축을 공유하는 원들의 족이다.

정의

평면 $\mathbb {R} ^{2}$ 위에서 서로 다른 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$의 방정식이

$a(x^{2}+y^{2})-2bx-2cy+d=0$

$a'(x^{2}+y^{2})-2b'x-2c'y+d'=0$

이라고 하자. 여기서 $(a,b,c,d)$와 $(a',b',c',d')$은 실수 동차 좌표이다. (이 두 원은 각각 일반적인 실원이거나, 점원 또는 허원이거나, 유한 직선이거나, 무한원 직선이다.) 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$으로 생성된 동축원 다발은 방정식이

$\lambda (a(x^{2}+y^{2})-2bx-2cy+d)+\lambda '(a'(x^{2}+y^{2})-2b'x-2c'y+d')=0$

인 원

$\lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '$

들의 족 ${\mathcal {C}}$이다. 여기서 $(\lambda ,\lambda ')$은 실수 동차 좌표이다.

분류

평면 $\mathbb {R} ^{2}$ 위에서 서로 다른 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$으로 생성되는 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상 ${\mathcal {C}}$가 실원을 포함할 경우 $\Gamma$가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우 $\Gamma$가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표 $(\lambda ,\lambda ')$에 대하여,

$\Delta _{\Gamma ,\Gamma '}(\lambda ,\lambda ')=\lambda ^{2}(b^{2}+c^{2}-ad)+\lambda \lambda '(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))+{\lambda '}^{2}({b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd')$

와 같이 표기하자. 이는 $(\lambda ,\lambda ')$에 대한 실수 이차 형식이다. $\lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '$이 직선이 아닐 경우 이는 $\lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '$의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히, 만약 $\lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '$이 직선이 아니고 $\Delta _{\Gamma ,\Gamma '}(\lambda ,\lambda ')$이 양수·0·음수일 경우, $\lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '$은 각각 실원·점원·허원이다. 이 이차 형식 $\Delta _{\Gamma ,\Gamma '}$의 행렬식은 다음과 같다.

$4\det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}=4(b^{2}+c^{2}-ad)({b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd')-(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))^{2}$

동축원 다발 ${\mathcal {C}}$는 이차 형식 $\Delta _{\Gamma ,\Gamma '}$의 성질에 따라 다음과 같이 분류된다.

타원형 동축원 다발

만약 $\det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}>0$이라면, $\Delta _{\Gamma ,\Gamma '}$은 양의 정부호 이차 형식이며, ${\mathcal {C}}$ 속 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 $\Gamma$와 $\Gamma '$은 서로 다른 두 교점 $P,Q$에서 만난다. 보다 일반적으로 ${\mathcal {C}}$는 $P$와 $Q$를 지나는 모든 원들의 족이며, 특히 ${\mathcal {C}}$의 근축은 직선 $PQ$이다. 이 경우 ${\mathcal {C}}$를 타원형 동축원 다발(楕圓型同軸圓-, 영어: elliptic pencil of coaxal circles) 또는 교차 동축원 다발(交叉同軸圓-, 영어: intersecting pencil of coaxal circles)이라고 하고, 두 공통 교점 $P,Q$를 ${\mathcal {C}}$의 기저점(基底點, 영어: base point)이라고 한다.

만약 두 교점 가운데 하나가 확장 복소평면의 무한대 $Q={\widehat {\infty }}$일 경우, ${\mathcal {C}}$는 교점이 $P$인 공점선 다발이다.

포물형 동축원 다발

만약 $\det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}=0$이라면,

$\Delta _{\Gamma ,\Gamma '}\colon (\lambda ,\lambda ')\mapsto \left(\lambda {\sqrt {b^{2}+c^{2}-ad}}\pm \lambda '{\sqrt {{b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd'}}\right)^{2}$

은 완전 제곱의 꼴이고, ${\mathcal {C}}$는 유일한 점원 $P$를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 $\Gamma$와 $\Gamma '$은 어떤 점 $P$에서 서로 접한다. 보다 일반적으로 ${\mathcal {C}}$ 속 임의의 두 원은 $P$에서 접하며, 특히 ${\mathcal {C}}$의 근축은 $P$에서의 공통 접선이다. 이 경우 ${\mathcal {C}}$를 포물형 동축원 다발(抛物型同軸圓-, 영어: parabolic pencil of coaxal circles) 또는 접동축원 다발(接同軸圓-, 영어: tangent pencil of coaxal circles)이라고 한다.

만약 $P={\widehat {\infty }}$일 경우, ${\mathcal {C}}$는 평행선 다발이다.

쌍곡형 동축원 다발

만약 $\det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}<0$이라면, $\Delta _{\Gamma ,\Gamma '}$은 부정부호 이차 형식이며, ${\mathcal {C}}$의 비직선 원소는 실원과 허원 그리고 2개의 점원 $P,Q$로 이루어진다. 또한 $\Gamma$와 $\Gamma '$은 서로 만나지 않는다. 보다 일반적으로 ${\mathcal {C}}$ 속 임의의 서로 다른 두 원은 서로 만나지 않으며, 특히 근축과 교점을 갖지 않는다. 이 경우 ${\mathcal {C}}$를 쌍곡형 동축원 다발(雙曲型同軸圓-, 영어: hyperbolic pencil of coaxal circles) 또는 비교차 동축원 다발(非交叉同軸圓-, 영어: nonintersecting pencil of coaxal circles)이라고 하고, 두 점원 $P,Q$를 ${\mathcal {C}}$의 극한점(極限點, 영어: limiting point)이라고 한다.

만약 $Q={\widehat {\infty }}$일 경우, ${\mathcal {C}}$는 중심이 $P$인 동심원 다발이다.

성질

동축원 다발 ${\mathcal {C}}$는 2차원 부분 사영 공간이므로, 서로 다른 임의의 두 원소는 ${\mathcal {C}}$를 생성한다.

중심선과 근축

동축원 다발 ${\mathcal {C}}$ 속 원의 중심들은 공선점을 이룬다. 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$ 속 임의의 두 원 $\Gamma ,\Gamma '\in {\mathcal {C}}$의 근축은 같다. 이를 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$의 근축(根軸, 영어: radical axis)이라고 한다. 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$의 근축은 중심선의 수선이며, 또한 ${\mathcal {C}}$의 한 원소이다. 즉, ${\mathcal {C}}$ 속의 두 원의 방정식으로부터 2차항을 소거하면 근축의 방정식을 얻는다. 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$ 속 임의의 비직선 원소에 대한 ${\mathcal {C}}$의 근축 위의 주어진 점의 방멱은 같다.

동축원 다발 ${\mathcal {C}}$의 중심선을 $x$축으로 삼고 근축을 $y$축으로 삼았을 경우 ${\mathcal {C}}$의 비직선 원소들은 다음과 같은 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.

$x^{2}+y^{2}-2ax+c=0$

여기서 $c$는 ${\mathcal {C}}$ 속 임의의 비직선 원소에 대한 ${\mathcal {C}}$의 중심(=중심선과 근축의 교점)의 방멱이고, $a\in \mathbb {R}$는 매개변수이다. 만약 $c<0$이라면, ${\mathcal {C}}$는 기저점이 $(0,\pm {\sqrt {-c}})$인 타원형 동축원 다발이며, 위 방정식은 모든 $a\in \mathbb {R}$에 대하여 실원을 나타낸다. 만약 $c=0$이라면, ${\mathcal {C}}$는 포물형 동축원 다발이며, 위 방정식은 $a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$에 대하여 실원을 나타내고, $a=0$에 대하여 점원을 나타낸다. 만약 $c>0$이라면, ${\mathcal {C}}$는 극한점이 $({\sqrt {c}},0)$인 쌍곡형 동축원 다발이며, 위 방정식은 $a\in (-\infty ,-{\sqrt {c}})\cup ({\sqrt {c}},\infty )$에 대하여 실원을 나타내고, $a=\pm {\sqrt {c}}$에 대하여 점원을, $a\in (-{\sqrt {c}},{\sqrt {c}})$에 대하여 허원을 나타낸다.

직교 동축원 다발

임의의 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 동축원 다발 ${\mathcal {C}}^{\perp }$가 존재하며, 이를 ${\mathcal {C}}$의 직교 동축원 다발(直交同軸圓-, 영어: orthogonal pencil of coaxal circles)이라고 한다.

• 임의의 $\Gamma \in {\mathcal {C}}$ 및 $\Gamma '\in {\mathcal {C}}^{\perp }$에 대하여, $\Gamma$와 $\Gamma '$은 서로 직교한다. (즉, (실수) 교점을 가지고, 교점에서의 두 접선은 서로 수직이다.)

자명하게 ${\mathcal {C}}^{\perp \perp }={\mathcal {C}}$가 성립한다. ${\mathcal {C}}$의 직교 동축원 다발 ${\mathcal {C}}^{\perp }$의 중심선과 근축은 각각 ${\mathcal {C}}$의 근축과 중심선이다. 만약 ${\mathcal {C}}$가 기저점이 $P,Q$인 타원형 동축원 다발이라면, ${\mathcal {C}}^{\perp }$는 극한점이 $P,Q$인 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히, 만약 ${\mathcal {C}}$가 교점이 $P$인 공점선 다발이라면, ${\mathcal {C}}^{\perp }$는 중심이 $P$인 동심원 다발이다. 만약 ${\mathcal {C}}$가 포물형 동축원 다발이라면, ${\mathcal {C}}^{\perp }$는 역시 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 ${\mathcal {C}}$가 평행선 다발이라면, ${\mathcal {C}}^{\perp }$ 역시 평행선 다발이다. 만약 ${\mathcal {C}}$가 극한점이 $P,Q$인 쌍곡형 동축원 다발이라면, ${\mathcal {C}}^{\perp }$는 기저점이 $P,Q$인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 ${\mathcal {C}}$가 중심이 $P$인 동심원 다발이라면, ${\mathcal {C}}^{\perp }$는 교점이 $P$인 공점선 다발이다.

반전에 대한 상

원에 대한 반전에 대한 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 상은 역시 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발이다. 타원형 동축원 다발의 중심이 한 기저점인 원에 대한 반전을 가하면 교점이 다른 한 기저점의 상인 공점선 다발을 얻는다. 포물형 동축원 다발에 중심이 다발의 중심인 원에 대한 반전을 가하면 다발의 근축에 평행하는 평행선 다발을 얻는다. 쌍곡형 동축원 다발에 중심이 한 극한점을 중심으로 하는 원에 대한 반전을 가하면 중심이 다른 한 극한점의 상인 동심원 다발을 얻는다. 동축원 다발 속 임의의 원은 직교 동축원 다발 속 임의의 원에 대한 반전에 대하여 불변이며, 특히 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이다.

입체 사영에 대한 상

동축원 다발은 입체 사영을 통해 공선면 다발과 일대일 대응한다. 구체적으로, 공간 $\mathbb {R} ^{3}$ 속 단위구

$\mathbb {S} ^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

와 평면 $z=0$ 사이의, 북극 $(0,0,1)$에 대한 입체 사영

$\varphi \colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\sqcup \{{\widehat {\infty }}\}$

$\varphi \colon (x,y,z)\mapsto \left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right)\qquad ((x,y,z)\in \mathbb {S} ^{2})$

를 생각하자. 평면 $z=0$ 속 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$의 원상 $\varphi ^{-1}(\Gamma ),\varphi ^{-1}(\Gamma ')$은 다음과 같은 방정식을 갖는 평면이다.

$-2bx-2cy+(a-d)z+(a+d)=0$

$-2b'x-2c'y+(a'-d')z+(a'+d')=0$

이 두 평면 $\varphi ^{-1}(\Gamma ),\varphi ^{-1}(\Gamma ')$은 단위구 $\mathbb {S} ^{2}$와 원을 교선으로 갖거나, 접하거나, 만나지 않을 수 있다. 즉, 만약 $\Gamma$가 실원 또는 유한 직선이라면 $\varphi ^{-1}(\Gamma )$는 $\mathbb {S} ^{2}$의 실원이고, 점원 또는 무한원 직선이라면 $\varphi ^{-1}(\Gamma )$는 점원이며, 허원이라면 $\varphi ^{-1}(\Gamma )$ 역시 $\mathbb {S} ^{2}$ 허원이다. 특히 만약 $\Gamma$가 단위 허원이라면 $\varphi ^{-1}(\Gamma )$는 무한원 평면이다. 마찬가지로 만약 $\Gamma '$이 실원 또는 유한 직선, 점원 또는 무한원 직선, 허원이라면 $\varphi ^{-1}(\Gamma ')$은 각각 $\mathbb {S} ^{2}$의 실원·점원·허원이며, 특히 만약 단위 허원이라면 $\varphi ^{-1}(\Gamma ')$은 무한원 평면이다.

동축원 다발 ${\mathcal {C}}=(\lambda \Gamma +\lambda '\Gamma ')_{(\lambda ,\lambda ')}$은 교선이 $\varphi ^{-1}(\Gamma )\cap \varphi ^{-1}(\Gamma ')$인 공선면 다발

$\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})=(\lambda \varphi ^{-1}(\Gamma )+\lambda '\varphi ^{-1}(\Gamma '))_{(\lambda ,\lambda ')}$

과 일대일 대응한다. 만약 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 교선이 단위구 $\mathbb {S} ^{2}$와 서로 다른 두 점 $P,Q$에서 만난다면, ${\mathcal {C}}$는 기저점이 $\varphi ^{-1}(P),\varphi ^{-1}(Q)$인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 한 교점이 북극 $Q=(0,0,1)$이라면, ${\mathcal {C}}$는 교점이 $\varphi ^{-1}(P)$인 공점선 다발이다. 만약 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 교선이 단위구 $\mathbb {S} ^{2}$에 점 $P$에서 접한다면, ${\mathcal {C}}$는 중심이 $\varphi ^{-1}(P)$이고 근축이 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 교선과 평면 $z=0$의 교점과 $\varphi ^{-1}(P)$를 잇는 직선인 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 접점이 북극 $P=(0,0,1)$이라면, ${\mathcal {C}}$는 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 교선에 평행하는 평행선 다발이다. 만약 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 교선이 단위구 $\mathbb {S} ^{2}$와 만나지 않는다면, ${\mathcal {C}}$는 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 단위구 $\mathbb {S} ^{2}$에 접하는 두 원소의 두 접점 $P,Q$에 대한 원상 $\varphi ^{-1}(P),\varphi ^{-1}(Q)$를 극한점으로 하는 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히 만약 두 접점 가운데 하나가 북극 $Q=(0,0,1)$이라면, ${\mathcal {C}}$는 중심이 $\varphi ^{-1}(P)$인 동심원 다발이다.

서로 직교하는 두 동축원 다발 ${\mathcal {C}},{\mathcal {C}}^{\perp }$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })$의 원소들의 극은 모두 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 교선 위의 점이며, $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 원소들의 극은 모두 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })$의 교선 위의 점이다. 특히, 만약 ${\mathcal {C}}$가 쌍곡형 동축원 다발일 경우, $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })$의 교선은 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 원소와 $\mathbb {S} ^{2}$의 두 접점을 잇는 직선이다. 또한 만약 ${\mathcal {C}}$가 포물형 동축원 다발일 경우 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}}^{\perp })$의 교선은 $\varphi ^{-1}({\mathcal {C}})$의 교선과 같은 접점에서 이와 수직인 접선이다.

같이 보기

• 근축#동축원 다발

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Coaxal circles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.