토론:다르부 함수

증명에 대한 지적

정리에 대해 이하와 같은 지적이 있었습니다. 곧 코멘트하겠습니다.

(수정: (무한소, 무한대) 구간이 아닌 실수 a, b의 [a, b]의 페구간에서의 미분가능한 함수 f(x)의 최댓값은 1) f'(x)=0인 f(x) 2) f(a) 3) f(b) 위 1) ~ 3) 중에서 가장 큰 값을 지니는 것으로 정의되므로 위 증명에서 g'(a), g'(b)가 0 이 아니므로 g(x)가 x=a, b일 때 최대가 아니라는 주장은 잘못됐다 ex) 실제로 f(x)=x 함수의 [0, 1]에서의 최댓값은 f(1)=1이지만 f'(1)=1로서 0이 아니다.) -wrtten by justist_7

-- Aydın (토론) 2012년 2월 17일 (금) 20:46 (KST)

우선, 말씀하신 것 중, [a, b]에서 미분가능한 실함수 f(x)의 최댓값이 1) f'(x) = 0인 f(x) 2) f(a) 3) f(b) 중에서 가장 큰 값이 되는 것은 맞습니다.(정의라기는 뭣하지만요) 그러므로, g'(a), g'(b)가 0이 아니므로 g(x)가 x = a, b일 때 최대가 아니라는 원 증명의 주장은, 이상의 논리에만 따른다면 틀릴 여지가 있습니다.

헌데 문제는 폐구간의 양 끝점에서 g'(a) > 0과 g'(b) < 0이 성립한다는 것입니다. g'(a) > 0이고 g가 [a, b]에서 미분가능이므로, (a, b)에 속하는 적어도 한 점 r에 대하여 g(a) < g(r)가 됩니다. 만약 (a, b)의 모든 점 r에 대해 g(a) ≥ g(r)이라면, 0 ≥ (g(r) - g(a))/(r - a)가 되고, r → a로 가는 극한에서 우변이 g'(a)로 수렴하므로, 0 ≥ g'(a)가 되기 때문입니다. 마찬가지로, g'(b) < 0이므로 (a, b)에 속하는 적어도 한 점 s에 대하여 g(b) < g(s)가 됩니다. 따라서, g(a)와 g(b)는 [a, b]에서 최댓값이 될 수 없습니다.

제가 본문의 증명에서 의도한 것은 이러한 해석이었습니다만.. 너무 간략하게 써 둔 것 같기도 하네요. 추후 보다 구체적으로 서술해 두도록 하겠습니다. --Aydın (토론) 2012년 2월 17일 (금) 20:55 (KST)

일단 이상의 논의를 반영하여 원문에 '보조정리'를 추가하였습니다. 추가로 지적하실 사항이 있다면 기탄없이 글을 남겨 주시길 바랍니다. --Aydın (토론) 2012년 2월 17일 (금) 21:08 (KST)