골롬-딕맨 상수 (Golomb-Dickman constant) 또는 골롬 상수
λ
{\displaystyle \;\lambda \;}
수학 에서 골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant)는 무작위 순열 (랜덤 순열)이론과 수 이론 에서 각각 보여진다.이것은 정수들의 확장에서 소수 들간의 출현길이와 무작위한 랜덤 순열을 가장 크게 확장했을 때의 분포가 일치하는 값을 보이고 있다는 사실을 보여주는 놀라운 상수들간의 관계이다.
딕맨(Dickman,1930)에 의해 가장 큰 정수들 집합
{
1
,
.
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{1,....,n\}}
중에서 균일하게 선택된 임의의 정수의 소수(prime number) 요소
P
1
{\displaystyle P_{1}}
에서,
E
(
l
o
g
P
1
l
o
g
n
)
→
0.62432
{\displaystyle E\left({{logP_{1}} \over {logn}}\right)\to 0.62432}
딕맨 함수 로 알려진 이 상수는 가장 큰 소수의 자릿수로 예상되는 수에서 해석된다.
이러한 "가장 크다고 여겨질수있는 무작위 정수의 자릿수에 대한 비율문제" 이후로, 골롬(Golomb,1964)이 무작위 순열에서 가장 긴 주기의 길이
L
1
{\displaystyle L_{1}}
을 연구했을때,
S
n
{\displaystyle S_{n}}
에서
E
(
L
1
n
)
→
0.62432
{\displaystyle E\left({{L_{1}} \over n}\right)\to 0.62432}
를 발견했다.
여기서 딕맨의 상수가 골롬이 발견한 상수와 동일함에도 이 두 상수의 상관관계가 곧 바로 강하게 연관되지는 못했다.[1]
그러나 이들의 관계가 확률상의 푸아송 분포 와 정규 분포
lim
n
→
∞
P
(
α
1
=
0
)
=
1
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\alpha _{1}=0)={1 \over e}}
lim
n
→
∞
P
(
α
j
=
k
)
=
1
k
!
e
−
1
j
j
−
k
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\alpha _{j}=k)={1 \over k!}e^{-1 \over j}j^{-k}}
lim
n
→
∞
P
(
(
∑
j
=
1
∞
α
j
−
ln
n
)
(
ln
n
)
−
1
2
≤
x
)
=
Φ
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left(\left(\sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}-\ln n\right)(\ln n)^{-1 \over 2}\leq x\right)=\Phi (x)}
로 약하게 연관되어 설명되고나서(Shepp and Lloyd 1966, Wilf 1990),
F
(
x
)
=
lim
n
→
∞
P
(
x
,
n
)
=
{
1
i
f
x
≥
1
∫
0
x
F
(
t
1
−
t
)
d
t
t
i
f
0
≤
x
<
1
}
{\displaystyle F(x)=\lim _{n\to \infty }P(x,n)={\begin{Bmatrix}1&if\;x\geq 1\\\int _{0}^{x}F\left({{t} \over {1-t}}\right){{dt} \over {t}}&if\;0\leq x<1\end{Bmatrix}}}
에서
딕맨 상수[2]
μ
=
lim
n
→
∞
⟨
x
⟩
{\displaystyle \mu =\lim _{n\to \infty }\left\langle x\right\rangle }
=
lim
n
→
∞
⟨
ln
P
ln
n
⟩
{\displaystyle \;\ =\lim _{n\to \infty }\left\langle {{\ln P} \over {\ln n}}\right\rangle }
=
∫
0
1
x
d
F
d
x
d
x
{\displaystyle \;\;=\int _{0}^{1}x{{d\;F} \over {d\;x}}dx}
=
∫
0
1
F
(
1
1
−
t
)
d
t
{\displaystyle \;\;=\int _{0}^{1}F\left({{1} \over {1-t}}\right)dt}
=
0.62432999...
{\displaystyle \;\;=0.62432999...}
는 골롬 상수
λ
{\displaystyle \lambda }
가
f
(
x
)
=
1
(
1
≤
x
≤
2
)
,
d
f
d
x
=
−
f
(
x
−
1
)
x
−
1
{\displaystyle f(x)=1\;\;(1\leq x\leq 2)\;\;,{{df} \over {dx}}=-{{f(x-1)} \over {x-1}}}
에서,
λ
=
∫
1
∞
f
(
x
)
x
2
d
x
,
f
(
x
)
=
1
(
x
>
2
)
{\displaystyle \lambda =\int _{1}^{\infty }{{f(x)} \over {x^{2}}}dx\;\;,f(x)=1\;\;(x>2)}
λ
=
∫
0
∞
e
x
p
(
−
x
−
(
∫
x
∞
e
−
y
y
d
y
)
)
{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }exp\left(-x-\left(\int _{x}^{\infty }{{e^{-y}} \over {y}}dy\right)\right)}
λ
=
∫
0
1
e
x
p
(
∫
0
x
d
y
ln
y
)
d
x
{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{1}exp\left(\int _{0}^{x}{{dy} \over {\ln y}}\right)dx}
λ
=
0.62432998854355087099293638310083724
…
(
O
E
I
S
A
084945
)
{\displaystyle \lambda =0.62432998854355087099293638310083724\dots (OEISA084945)}
로 쉐프 와 로이드(Shepp and Lloyd , 1966)가 유도됨을 보였다.[3]
이것은 구간
x
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \;x\in (0,1)}
에서,
μ
=
lim
n
→
∞
⟨
x
⟩
=
lim
n
→
∞
⟨
ln
P
ln
n
⟩
=
∫
0
1
x
d
F
d
x
d
x
=
∫
0
1
F
(
1
1
−
t
)
d
t
=
λ
=
∫
0
1
e
x
p
(
∫
0
x
d
y
ln
y
)
d
x
{\displaystyle \mu =\lim _{n\to \infty }\left\langle x\right\rangle =\lim _{n\to \infty }\left\langle {{\ln P} \over {\ln n}}\right\rangle =\int _{0}^{1}x{{d\;F} \over {d\;x}}dx=\int _{0}^{1}F\left({{1} \over {1-t}}\right)dt=\lambda =\int _{0}^{1}exp\left(\int _{0}^{x}{{dy} \over {\ln y}}\right)dx}
이다.
확률 이론 에서,
λ
n
{\displaystyle \lambda n}
은 균일 분포 에서 가장 긴주기의 예상 크기
n
{\displaystyle n}
세트의 랜덤순열이다.
수 이론 에서 골롬-딕맨 상수는 정수의 가장 큰 소수 인자의 평균 크기와 관련되어 나타난다.
λ
=
lim
n
→
∞
a
n
n
{\displaystyle \lambda =\lim _{n\ \to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}
λ
=
lim
n
→
∞
1
n
∑
k
=
2
n
log
(
P
1
(
k
)
)
log
(
k
)
{\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{1 \over n}\sum _{k=2}^{n}{{\log(P_{1}(k))} \over {\log(k)}}}
여기서
P
1
(
k
)
{\displaystyle P_{1}(k)}
는
k
{\displaystyle k}
의 가장 큰 소수 인자이다.
따라서
k
{\displaystyle k}
가
d
{\displaystyle d}
자릿수 인 경우,
λ
d
{\displaystyle \lambda d}
는
k
{\displaystyle k}
의 최대 소수 자릿수의 평균 자릿수이다.
커누스의
β
{\displaystyle \beta }
와
B
{\displaystyle B}
에 대한 추측
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관련 상수 및 함수
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λ
=
∫
0
∞
e
−
t
−
E
1
(
t
)
d
t
{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-E_{1}(t)}dt}
E
1
(
t
)
{\displaystyle E_{1}(t)}
지수 적분 함수
λ
=
∫
0
∞
ρ
(
t
)
t
+
2
d
t
{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt}
λ
=
∫
0
∞
ρ
(
t
)
(
t
+
1
)
2
d
t
{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}dt}
ρ
(
t
)
{\displaystyle \rho (t)}
딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function)
⟨
∑
j
=
1
∞
α
j
⟩
=
∑
i
=
1
n
1
i
{\displaystyle \left\langle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{1 \over i}}
=
ln
n
+
γ
+
O
(
1
n
)
{\displaystyle \quad =\ln n+\gamma +O\left({1 \over n}\right)}
=
H
n
{\displaystyle \quad =H_{n}}
H
n
{\displaystyle H_{n}}
는 조화수
,
b
i
g
O
{\displaystyle ,\;\;big\;O}
점근 표기법
같이 보기
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