이산균등분포

이산균등분포(discrete uniform distribution)란, 확률론과 통계학에서 다루는 이산확률분포중 확률 함수가 정의된 모든 곳에서 그 값이 일정한 분포를 말한다.

이산균등분포

확률 질량 함수
n = b-a+1가 성립할 때 n = 5 인 경우
누적 분포 함수
매개변수	$a\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )\,$ $b\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )\,$ $n=b-a+1\,$
지지집합	$k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}\,$
확률 질량	${\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}$
누적 분포	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}$
기댓값	${\frac {a+b}{2}}\,$
중앙값	${\frac {a+b}{2}}\,$
최빈값	N/A
분산	${\frac {n^{2}-1}{12}}\,$
비대칭도	$0\,$
첨도	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,$
엔트로피	$\ln(n)\,$
적률생성함수	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,$
특성함수	${\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}$

만일 확률변수가 $k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}$과 같이 $n$개의 값을 가질 수 있다면, 이 분포는 이산균등분포가 된다. 이 때, $k_{i}$ 일 확률은 ${\frac {1}{n}}$이 된다. 이산균등분포의 가장 대표적인 예는 모든 면이 나올 확률이 동등한 주사위이다. 예를 들어 1, 2, 3, 4, 5, 6의 값을 갖는 주사위라면, 이를 던졌을 때 각각의 눈이 나올 확률은 ${\frac {1}{6}}$이다.

이산균등분포의 확률 변수의 값이 실수인 경우, 이때 누적 분포 함수는 다음과 같이 퇴화분포의 합으로 표시가 된다. 헤비사이드 계단 함수 $H(x-x_{0})$를 중심이 $x_{0}$인 퇴화분포의 누적분포함수라 하면,

$F(k;a,b,n)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}H(k-k_{i})$

이 성립한다.