영집합

원소가 하나도 없는 집합에 대한 설명은 공집합 문서를 참조하십시오.

측도론에서 영집합(零集合, 영어: null set)은 매우 작아 무시할 수 있는 측도 공간의 부분집합이다.

정의

측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$에서, 만약 집합 $S\subset X$이 측도가 0인 가측 집합의 부분 집합이라면, $S$를 $X$의 영집합이라고 한다.

만약 어떤 명제가 $X$ 위에서 성립하지 않는 점들의 집합이 영집합이라면, 이 명제가 $X$의 거의 어디서나 성립한다고 표기한다.

성질

두 함수 $f$, $g$가 영집합을 제외한 모든 점에 대해 같은 값을 가질 때, 함수 $f$가 적분가능할 조건과 $g$가 적분가능할 조건은 같다. 또한, 적분가능할 경우 두 함수의 적분값은 같다.

영집합의 모든 부분 집합이 가측 집합일 경우, 그 측도를 완비 측도라고 정의한다. 이 경우 그 부분집합은 역시 영집합이 된다.

예

르베그 측도를 사용하는 경우, 원소 하나로 이루어진 집합의 측도는 0이고, 측도의 성질에 따라서 가산집합의 측도도 0이 된다. 예를 들어, 유리수의 집합 $\mathbb {Q}$는 측도가 0이다. 반면, 칸토어 집합은 비가산 집합이지만 역시 측도는 0이다.

참고 문헌

• H. L. Royden. Real Analysis. 3rd ed. 1988. Prentice Hall.