복소해석학 에서 복소수 z 를 변수로 가지는 복소 함수
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}
(이것은 수렴반경 이 양수라는 것을 내포한다). 복소해석학에서 가장 중요한 점은 정칙함수는 해석적 이라는 것이다. 이 이론의 증명들은
각 함수의 정의역의 교집합에서 집적점 이 있는 무한집합 S 의 모든 점에서 일치하는 두 정칙함수가 S를 포함한 모든 정의역의 연결된 열린 부분 집합에서 일치하는 항등 정리 와,
멱급수가 무한히 미분가능하며, 정칙함수도 그러하다(이것은 미분가능한 실수 함수와는 반대의 결과다)는 사실과
수렴반경이 항상 중심 a 에서 가장 가까운 특이점 까지의 거리라는 사실과; 만약 특이점이 없다면 (예를 들어 ƒ 가 전해석 함수 라면), 수렴반경은 무한이다. 엄밀히 말하면 이것은 이론의 추론이 아니고 증명의 부산물이다.
어떤 복소평면위의 범프 함수 도 전해석적이지 않다.In 특히 어떤 복소평면의 정칙적인 연결된 열린 부분집합에서 정의된 범프 함수는 있을 수 없다. T이것은 단위분할의 사용을 배제하기 때문에 복소 다양체 연구에서 중요한 파급효과를 가진다. 대조적으로, 단위분할은 실 다양체에서 쓰이는 도구이다.
코시 가 처음 제시한 논증은 코시 적분식 과
1
w
−
z
{\displaystyle {\frac {1}{w-z}}}
D 를 a 를 중심으로하는 열린 원판이라고 하고 ƒ 가 D의 경계를 포함하여 열린 주변에서 미분가능하다고 가정하자. D 의 경계인 C 를 양의 방향(즉, 반시계 방향)의 원이라 가정하고, z 를 D 의 한 점이라고 가정하자. 코시 적분식에서 시작하자
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
C
f
(
w
)
w
−
z
d
w
=
1
2
π
i
∫
C
f
(
w
)
(
w
−
a
)
−
(
z
−
a
)
d
w
=
1
2
π
i
∫
C
1
w
−
a
⋅
1
1
−
z
−
a
w
−
a
f
(
w
)
d
w
=
1
2
π
i
∫
C
1
w
−
a
⋅
∑
n
=
0
∞
(
z
−
a
w
−
a
)
n
f
(
w
)
d
w
=
∑
n
=
0
∞
1
2
π
i
∫
C
(
z
−
a
)
n
(
w
−
a
)
n
+
1
f
(
w
)
d
w
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}
적분과 무한 합을 교환하는 것은 C 의 모든 w 에 대해
f
(
w
)
/
(
w
−
a
)
{\displaystyle f(w)/(w-a)}
|
z
−
a
w
−
a
|
≤
r
<
1
{\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1}
여기서 r 은 적당한 양수이다. 우리는 따라서 C에 대해서 다음을 알 수 있다:
|
(
z
−
a
)
n
(
w
−
a
)
n
+
1
f
(
w
)
|
≤
M
r
n
,
{\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n},}
그리고 바이어슈트라스 M-판정법을 사용함으로써 급수는 C에서 균등하게 수렴한다는 것을 보여주므로, 급수와 적분이 교환될 수 있다.
인자 (z − a )n w 에 의존하지 않기 때문에 적분기호 밖으로 빠져나올 수 있다
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
z
−
a
)
n
1
2
π
i
∫
C
f
(
w
)
(
w
−
a
)
n
+
1
d
w
,
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,}
이것은 우리가 원하던 z 로 표현되는 형태이다:
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}
계수 Cn 는 다음과 같다:
c
n
=
1
2
π
i
∫
C
f
(
w
)
(
w
−
a
)
n
+
1
d
w
.
{\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}
멱급수는 항 별로 미분가능하기 때문에 위의 인자를 반대방향으로 적용하고 다음의 멱급수 표현
1
(
w
−
z
)
n
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}
은 다음을 도출한다
f
(
n
)
(
a
)
=
n
!
2
π
i
∫
C
f
(
w
)
(
w
−
a
)
n
+
1
d
w
.
{\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.}
이것은 도함수의 코시 적분식이다. 따라서 위의 식을 포함하는 멱급수는 f 의 테일러 급수 이다. 인수는 z 가 ƒ 의 특이점보다 중심 a 에 가까우면 작용한다. 따라서 테일러 급수의 수렴반경은 a에서 가까운 특이점 까지의 거리보다 작을 수 없다(또한 멱급수는 수렴반경 내부에서 특이점이 없으므로 클 수도 없다).
특별한 경우의 항등 정리 는 이전의 비고를 따른다. 만약 두 정칙함수가 (충분히 작은) a 의 열린 주변 U 에서 동일하다면 이것들은 열린 원판 Bd (a )에서 일치한다. 여기서 d 는 a 에서 가장 가까운 특이점 까지의 거리이다. 외부 링크
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![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e6cbb27553e01d97842e63d6a283e2792a2267)
