카츠-무디 대수

리 이론에서, 카츠-무디 대수(Кац-Moody代數, 영어: Kač–Moody algebra)는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수와 아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다.

정의

카츠-무디 대수 $(A,{\mathfrak {h}},\{(\alpha _{i},\alpha _{i}^{\vee })\}_{i\in \{1,2,\dots ,n\}})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )$는 정수 성분의 $n\times n$ 정사각 행렬이며, 그 계수는 $r$이다. 이를 (일반화) 카르탕 행렬(一般化Cartan行列, 영어: (generalized) Cartan matrix)이라고 한다.
• ${\mathfrak {h}}$는 $2n-r$차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, 영어: Cartan subalgebra)라고 한다.
• $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\in {\mathfrak {h}}^{*}$은 $n$개의 선형 독립 벡터이며, $\alpha _{1}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }\in {\mathfrak {h}}$는 $n$개의 선형 독립 벡터이다. $\alpha _{i}$를 단순근(單純根, 영어: simple root), $\alpha _{i}^{\vee }$를 단순쌍대근(單純雙對根, 영어: simple coroot)이라고 한다.

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, $\alpha _{i}(\alpha _{j}^{\vee })=A_{ij}$
• 모든 $i\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, $A_{ii}=2$
• 모든 $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $i\neq j$라면 $A_{ij}\leq 0$
• 모든 $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $A_{ij}=0$이라면 $A_{ji}=0$

이 경우, 카츠-무디 대수 ${\mathfrak {g}}$는 ${\mathfrak {h}}$ 및 생성원 $e_{1},\dots ,e_{n}$, $f_{1},\dots ,f_{n}$으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.

$[h,h']=0\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}$

$[h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}$

$[h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}$

$[e_{i},f_{i}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}$

$\overbrace {[e_{i},[e_{i},\cdots ,[e_{i},} ^{1-A_{ij}}e_{j}]\cdots ]]=\overbrace {[f_{i},[f_{i},\dots ,[f_{i},} ^{1-A_{ij}}f_{j}]\cdots ]]=0\qquad \forall i\neq j$

여기서 $(e_{i},f_{i})$를 슈발레 생성원(영어: Chevalley generator)라고 한다.

만약 카츠-무디 대수 ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 행렬 $A$에 대하여, $A=DS$인 대각 행렬 $D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )$와 대칭 행렬 $S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$가 존재한다면, ${\mathfrak {g}}$를 대칭화 가능 카츠-무디 대수(영어: symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다.

카츠-무디 대수 ${\mathfrak {g}}$의 계수(영어: rank) $\operatorname {rank} {\mathfrak {g}}$는 그 카르탕 행렬의 계수 $r=\operatorname {rank} A$와 같다.

근계

카츠-무디 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌을 때, 만약 $x\in {\mathfrak {g}}\setminus \{0\}$ 및 $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}$에 대하여

$[h,x]=\lambda (h)x\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}}$

라면, $\lambda$를 ${\mathfrak {g}}$의 근(根, 영어: root)이라고 하고, $x$를 $\lambda$의 근 벡터(根vector, 영어: root vector)라고 한다. ${\mathfrak {g}}$의 모든 근들의 집합을 $\Delta \subset {\mathfrak {h}}^{*}$라고 하자.

${\mathfrak {g}}$의 근 $\lambda \in \Delta$에 대응하는 근공간(영어: root space) ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$은 $\lambda$에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.

${\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon [h,x]=\lambda (h)x\}$

이는 복소수 벡터 공간을 이룬다.

모든 카츠-무디 대수 ${\mathfrak {g}}$는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다.

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }$

또한, 모든 근 $\lambda$는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다.

$\lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}\qquad (z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {Z} ,\;\operatorname {sgn} z_{1}=\cdots =\operatorname {sgn} z_{n}\neq 0)$

이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, 영어: positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, 영어: negative root)이라고 한다.

모든 단순근 $\alpha _{i}$는 양근이며, $-\alpha _{i}$는 음근이다. 또한, $e_{i}$ 및 $f_{i}$는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.

$e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}$

$f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}$

딘킨 도표

카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )$에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.

• 딘킨 도표의 꼭짓점은 $n$개가 있으며, $1,\dots ,n$에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
• $i\neq j$일 때, 두 꼭짓점 $i,j$ 사이의 변의 수는 $A_{ij}A_{ji}$이다.
• 만약 $A_{ij}\leq -2$라면, $i$와 $j$ 사이의 변에 $i$로 향하는 화살표를 그린다.

실근과 허근

카츠-무디 대수 ${\mathfrak {g}}$의 근 $\alpha \in \Delta ({\mathfrak {g}})$는 다음과 같이 두 종류로 분류된다.

• 만약 $w(\alpha )$가 단순근인 바일 군 원소 $w\in W({\mathfrak {g}})$가 존재한다면, $\alpha$를 실근(實根, 영어: real root)이라고 한다.
• 실근이 아닌 근을 허근(虛根, 영어: imaginary root)이라고 한다.

분류

대칭화 가능 카츠-무디 대수 ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 행렬 $A$는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 $A=DS$로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 $S$의 부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다.

• 만약 $S$가 양의 정부호일 경우, ${\mathfrak {g}}$는 (유한 차원) 단순 리 대수이다. 이 경우, $r=n$이다.
• 만약 $S$가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, ${\mathfrak {g}}$는 아핀 리 대수이다. 이 경우, $r=n-1$이다.
• 만약 $S$가 부정부호일 경우, ${\mathfrak {g}}$는 부정부호 카츠-무디 대수(영어: indefinite Kač–Moody algebra)이다.
• 대각선 성분들이 양수이므로, $S$는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.

이들 가운데, 단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 쌍곡선형 카츠-무디 대수(영어: hyperbolic Kač–Moody algebra)라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다. 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다.

역사

캐나다의 로버트 본 무디(영어: Robert Vaughan Moody) 가 토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다.

참고 문헌

• Kac, Victor G. (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》 (영어) 3판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 978-0-521-37215-2. MR 1104219. Zbl 0716.17022. 
• Wassermann, Antony. “Kac-Moody and Virasoro algebras” (영어). arXiv:1004.1287. 

외부 링크

• “Kac-Moody algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kac-Moody algebra”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “캐츠-무디 대수 (Kac-Moody algebra)”. 《수학노트》.