2015년 1월 11일 (일) 07:41 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글 Osteologia 사용자가 합성함수 문서를 함수의 합성 문서로 옮겼습니다: 다른 언어 위키백과(de, en, fr, ...)를 따라 연산으로 변경 ← 이전 편집		2015년 1월 11일 (일) 07:48 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[파일:Compfun.svg\|300px\|thumb\|함수 ''g'' ○ ''f''. 예를 들어 (''g ○ f'')(''b'') = ''@''이다.]] [[수학]]에서, '''함수의 합성'''(函數의合成, {{llang\|en\|function composition}})은 한 함수의 [[공역 (수학)\|공역]]이 다른 함수이 [[정의역]]과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다. 이렇게 얻어진 함수를 '''합성 함수'''({{llang\|en\|composite function}})라고 한다. ~~'''합성함수(Composite function,合成函數)'''는 두 개 이상의 [[함수]]를 합성하여 얻은 함수이다.~~ == 정의 == 두 함수 <math>f: X \rightarrow Y</math>와 <math> g: Y \rightarrow Z</math>에 대하여, 함수 <math> c: X \rightarrow Z</math>를 어떻게 나타낼 수 있을까? 당연히 집합 X의 각 원소 x를 집합 Z의 원소 z에 대응시켜 나타내어야한다. 여기서 원소 z를 두 함수 f, g를 통해 나타내어보면 <math>z=g(f(x))</math>이므로 함수 <math> c: X \rightarrow Z</math>에서 <math>x \rightarrow g(f(x))</math>의 대응관계가 성립한다. 임의의 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> 및 두 함수 :<math>f\colon X\to Y</math> :<math>g\colon Y\to Z</math> 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 '''합성''' <math>f\circ g</math>는 다음과 같은 함수이다. :<math>g\circ f\colon X\to Z</math> :<math>g\circ f\colon x\in X\mapsto g(f(x))</math> 함수의 합성 <math>f\circ g</math>가 정의되려면, <math>f</math>의 [[공역 (수학)\|공역]]이 <math>g</math>의 [[정의역]]과 일치하여야 한다. == 성질 == 이와 같이, 두 함수<math>f: X \rightarrow Y</math>와 <math> g: Y \rightarrow Z</math>를 이용하여 함수 <math> c: X \rightarrow Z</math>를 나타내는 것을 '''함수를 합성한다'''라 한다. 함수의 합성은 [[결합 법칙]]을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> 및 함수 ~~:따라서 이 함수 <math> c: X \rightarrow Z</math>에 대하여 <math>x \rightarrow g(f(x))</math>의 관계가 성립한다. 그러므로 함수 c의 함수식은 <math>y=g(f(x))</math>이다.~~ :<math>f\colon X\to Y</math> :<math>g\colon Y\to Z</math> :<math>h\colon Z\to W</math> 가 주어졌을 때, :<math>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W</math> 이다. 이에 따라, ([[항등 함수]]의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 [[범주 (수학)\|범주]]를 이루는 것을 알 수 있다. == 바깥 고리 == 이 합성함수 c에서 주목해야 할 부분은 <math>g(f(x))</math>로, '''최근에 함수 g에 의한 값을 가졌는데 처음에는 함수 f에 의한 값을 가졌다'''를 말해주기위해, 이 합성함수를 g○f로 나타낸다. * {{매스월드\|id=Composition}} ~~:즉, 이제부터 함수 c를 간단히 기호 g○f로 나타내기로 약속하겠다.~~ 두 개 이상의 함수를 합성할 때, 아무 함수끼리나 합성할 수 있는 건 아니다. 이를테면, 두 함수를 합성할 때, 한 함수의 [[치역]]이 다른 함수의 [[정의역]]에 포함될 수 있어야만 두 함수를 합성할 수 있는 것이다. 두 함수 <math>f: X \rightarrow Y</math>와 <math> g: Y \rightarrow Z</math>에 대하여, 함수 f의 치역은 함수 g의 정의역에 당연히 포함되므로 함수 f와 g는 합성될 수 있다. 함수를 합성할 때는 항상 [[결합법칙]]이 성립한다. 예를 들어 함수 ''(h ∘ g) ∘ f''와 함수 ''h ∘ (g ∘ f)''는 괄호의 연산 순서와 관련없이 항상 같다. 하지만 함수의 합성에 있어서 일반적으로 [[교환법칙]]은 성립하지 않는다. 다만 (''g ∘ f'')=(''f ∘ g'')일 때는 교환법칙이 성립한다고 한다. 교환법칙은 특수한 사례이거나, 특정 구간에 대해서 성립할 수 있다. ~~{{토막글\|수학}}~~ {{집합론}} [[분류:함수와 사상]] [[분류:고등 수학]]

함수의 합성: 두 판 사이의 차이