함수의 합성

함수 $g\circ f$. 예를 들어 $(g\circ f)(c)={\#}$이다.

수학에서, 함수의 합성(函數의合成, 영어: function composition)은 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다. 이렇게 얻어진 함수를 합성 함수(合成函數, 영어: composite function)라고 한다.

정의

임의의 집합 $X$, $Y$, $Z$ 및 두 함수

$f\colon X\to Y$

$g\colon Y\to Z$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성 $g\circ f$는 다음과 같은 함수이다.

$g\circ f\colon X\to Z$

$g\circ f\colon x\in X\mapsto g(f(x))$

함수의 합성 $g\circ f$가 정의되려면, $f$의 공역이 $g$의 정의역과 일치하여야 한다.

합성함수$g\circ f$는 "지 써클 에프" 또는 "지 합성 에프"로 읽는다.

성질

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 $X$, $Y$, $Z$, $W$ 및 함수

$f\colon X\to Y$

$g\colon Y\to Z$

$h\colon Z\to W$

가 주어졌을 때,

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W$

이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.

또한,

$f\colon X\to Y$

$g\colon Y\to Z$일때,

$g\circ f\neq f\circ g$

$g\circ f=g(f(x))\neq f(g(x))=f\circ g$

이다. 따라서, 교환법칙은 성립하지 않는다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Composition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.