"계차수열"의 두 판 사이의 차이

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을 '''이계차수열'''이라고 하고, {{수학|{Δ<sup>2</sup>''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}으로 표기한다.
 
임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}계차수열''' {{수학|{Δ''<sup>k</sup>a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}은 다음과 같이 정의된다.
 
:<math>\Delta^k a_n = \underbrace{\Delta \Delta \cdots \Delta}_k a_n</math>
* 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.<ref name="WQ" />
*:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
: 여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 {{수학|''n'' - 1}}의 대상 중에서 {{수학|''k''}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
* [[아벨 변환]]
* [[슈톨츠-체사로 정리]]
 
== 고계등차수열 ==
'''{{수학|''k''}}계등차수열'''은, {{수학|''x''}}계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 {{수학|''x''}}가 {{수학|''k''}}인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.
 
어떤 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 {{수학|''k''}}계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{수학|''n''}}에 대한 [[다항식|{{수학|''k''}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" />
 
== 각주 ==