계수-퇴화차수 정리: 두 판 사이의 차이
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** 증명: <math>a_{r+1}Tv_{r+1}+a_{r+2}Tv_{r+2}+\dots+a_nTv_n=0</math>이며 <math>a_{r+1},a_{r+2},\dots,a_n\in K</math>라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 <math>T(a_{r+1}v_{r+1}+a_{r+2}v_{r+2}+\cdots+a_nv_n)=0</math>이며, <math>\ker T</math>의 정의에 따라 <math>a_{r+1}v_{r+1}+a_{r+2}v_{r+2}+\cdots+a_nv_n\in\ker T</math>이다. <math>\{v_1,v_2,\dots,v_r\}</math>가 <math>\ker T</math>의 기저이므로, <math>a_{r+1}v_{r+1}+a_{r+2}v_{r+2}+\cdots+a_nv_n=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_rv_r</math>인 <math>a_1,a_2,\dots,a_r\in K</math>가 존재한다. 따라서, <math>a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_rv_r-a_{r+1}v_{r+1}-a_{r+2}v_{r+2}-\cdots-a_nv_n=0</math>인데, <math>\{v_1,v_2,\dots,v_n\}</math>이 <math>V</math>의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 <math>a_1=a_2=\dots=a_n=0</math>이며, 특히 <math>a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots=a_n=0</math>이다.
* <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>은 <math>\operatorname{im}T</math>를 [[선형 생성]]한다.
** 증명: <math>w\in\operatorname{im}T</math>라고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{im}T</math>의 정의에 따라 <math>w=Tv</math>인 <math>v\in V</math>가 존재한다. 이 <math>v</math>는 기저 <math>\{v_1,v_2,\dots,v_n\}</math>의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, <math>v=b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_nv_n</math>인 <math>b_1,b_2,\dots,b_n\in K</math>가 존재한다. 따라서 <math>w=Tv=b_1Tv_1+b_2Tv_2+\cdots+b_nTv_n</math>인데, <math>
이에 따라, <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>은 <math>\operatorname{im}T</math>의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.
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