다항식환: 두 판 사이의 차이

[[다항식]] <math>0\ne p\in R[x]</math>의 '''차수'''(次數, {{llang|en|degree}})는

이다. [[다항식]] 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 <math>\deg 0=-\infty</math> 또는 <math>\deg 0=-1</math>을 사용한다).

보다 일반적으로, [[다변수 다항식]] <math>0\ne p\in R[x_1,\dots,x_k]</math>의 '''차수'''는

환 <math>R</math> 및 [[다항식]] <math>p,q\in R[x]</math> (또는 [[다변수 다항식]] <math>p,q\in R[x_1,\dots,x_k]</math>)가 주어졌고, 편의상 <math>\deg 0=-\infty</math>라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>를 계수로 하는 [[다항식]] <math>p\in R[x]</math>의 '''근'''(根, {{llang|en|root}})은 <math>p(r)=0</math>을 만족시키는 환의[[환 (수학)|환]]의 원소 <math>r\in R</math>를 뜻한다. 이 경우 <math>(x-r)^m\mid p(x)</math>를 만족시키는 최대의 정수 <math>m</math>을 근 <math>r</math>의 '''중복도'''(重復度, {{llang|en|multiplicity}})라고 한다. 중복도가 1인 근을 '''단순근'''(單純根, {{llang|en|simple root}})이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 '''다중근'''(多重根, {{llang|en|multiple root}})이라고 한다.

[[가환환]] <math>R</math>를 계수로 하는 [[다항식]] <math>p\in R[x]</math> 및 환의[[환 (수학)|환]]의 원소 <math>r\in R</math>가 주어졌다고 하자. [[인수 정리]]에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.

다항식환은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시킨다. 임의의 [[가환환]] <math>R</math>, <math>S</math> 및 [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S</math> 및 원소 <math>s\in S</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 [[환 준동형]] <math>\widetilde\phi\colon R[x]\to S</math>가 존재한다.