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디리클레 함수: 두 판 사이의 차이

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[[수학]]에서, '''디리클레 함수'''(-函數, {{llang|en|Dirichlet function}})는 [[실수]] 집합의집합 위에 정의된 [[유리수]] 집합에 대한 [[지시 함수]]이다. 독일의 수학자 [[페터 구스타프 르죈 디리클레]]의 이름을 따서 명명하였다.<ref>Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], ''Journal für reine und angewandte Mathematik'' [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169.</ref> 형식적으로 이 함수는 다음과 같이 정의된다.
 
== 정의 ==
:<math>f(x)=
'''디리클레 함수''' <math>1_\mathbb Q\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 다음과 같다.
\begin{cases}
:<math>1_\mathbb Q(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\begin{cases}
1, & x \in \mathbb{Q} \\
0,1 & x \in \mathbb{R} \setminusQ \mathbb{Q}\
0 & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}</math>
여기서 <math>m!</math>는 [[계승]], <math>\cos</math>는 [[코사인]], <math>\mathbb Q</math>와 <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>는 각각 [[유리수]]와 [[무리수]]의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 [[베르 2급 함수]]이다.<ref>{{서적 인용
 
여기서 <math>\mathbb{Q},\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math>는 각각 유리수와 유리수를 제외한 [[무리수]]의 집합이다.
 
디리클레 함수는 임의의 유리수를 [[주기함수|주기]]로 가진다. 그 밖에, 모든 곳에서의 [[함수의 극한|극한]]이 존재하지 않고, 모든 곳에서 [[연속함수|불연속]]이며, 모든 [[구간]]에서 [[리만 적분]] 불가능이다.
<!-- 가측 함수 -->
 
== 표현 ==
디리클레 본인에 의한 [[연속함수]]의 극한으로의 표기는 다음과 같다.
 
:<math>f(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)</math>
 
그러므로 디리클레 함수는 [[베르 등급|베르의 분류]]에 따르면 2 등급 함수이다. 또한 1 등급 함수일 수 없다. 베르 1 등급 함수는 [[제1 범주 집합]]에서만 불연속점일 수 있기 때문이다.<ref>{{서적 인용
| language = en
| last = Dunham
줄 25 ⟶ 15:
| date = 2005
| pages = 197
| isbn = 0-691-09565-5 }}</ref>
}}</ref> 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다.
{{증명}}
만약 <math>x\in\mathbb Q</math>라면, <math>\textstyle x=\frac ab</math>인 <math>a,b\in\mathbb Z</math>를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 <math>m\ge b</math>에 대하여, <math>m!x\in\mathbb Z</math>이므로, <math>\cos(m!\pi x)\in\{-1,1\}</math>이다. 따라서,
:<math>\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}1=1</math>
이다.
 
만약 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>라면, 임의의 <math>m\ge 0</math>에 대하여 <math>m!x\notin\mathbb Z</math>이므로, <math>\cos(m!\pi x)\in(-1,1)</math>이다. 따라서,
위의 등식을 증명하자면, 제일 안에 있는 코사인을 먼저 생각하면 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}0=0</math>
이다.
{{증명 끝}}
 
== 성질 ==
:<math>\cos^2(m!\pi x)
=== 주기성 ===
\begin{cases}
디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 모든 [[유리수]]를 주기로 갖는 [[주기 함수]]이며, 이에 따라 양의 최소 주기가 없다.
=1, & m!x \in \mathbb{Z} \\
{{증명}}
\in [0,1), & m!x \notin \mathbb{Z}
임의의 <math>t\in\mathbb Q</math> 및 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>1_{\mathbb Q}(x+t)=1_{\mathbb Q}(x)</math>임을 보이면 된다. 만약 <math>x\in\mathbb Q</math>라면, <math>x+t\in\mathbb Q</math>이므로,
\end{cases}</math>
:<math>1_{\mathbb Q}(x+t)=1=1_{\mathbb Q}(x)</math>
이다. 만약 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>라면, <math>x+t\in\mathbb Q</math>이므로,
:<math>1_{\mathbb Q}(x+t)=0=1_{\mathbb Q}(x)</math>
이다.
 
이제, [[귀류법]]을 사용하여, <math>t_0\in\mathbb Q^+</math>가 <math>1_{\mathbb Q}</math>의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, <math>\textstyle\frac{t_0}2\in\mathbb Q^+</math> 역시 <math>1_{\mathbb Q}</math>의 양의 주기이며, <math>\textstyle\frac{t_0}2<t_0</math>이므로, <math>t_0</math>이 양의 최소 주기인 것과 모순이다.
여기에 <math>n</math>승을 하고 <math>n</math>에 대해 극한을 취한다.
{{증명 끝}}
 
=== 연속성 ===
:<math>\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=
디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 모든 점에서 [[연속 함수|불연속]]이다. 이는 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여,
\begin{cases}
:<math>\limsup_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)=1</math>
1, & m!x \in \mathbb{Z} \\
:<math>\liminf_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)=0</math>
0, & m!x \notin \mathbb{Z}
이기 때문이다.
\end{cases}</math>
{{증명}}
임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>x</math>로 수렴하는 [[유리수]] 수열 <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>과 [[무리수]] 수열 <math>(y_n)_{n=0}^\infty</math>을 취할 수 있다. 그렇다면
:<math>1=\lim_{n\to\infty}1_{\mathbb Q}(x_n)\le\limsup_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)\le\sup_{y\in\mathbb R}1_{\mathbb Q}(y)=1</math>
:<math>0=\inf_{y\in\mathbb R}1_{\mathbb Q}(y)\le\liminf_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)\le\lim_{n\to\infty}1_{\mathbb Q}(y_n)=0</math>
이다.
{{증명 끝}}
 
=== 적분 ===
다시 <math>m</math>에 대한 극한을 취한다. 이때 만약 <math>x\in\mathbb{Q}</math>이면, <math>m_0\in\mathbb{N}</math>이 존재하여 임의의 <math>m\ge m_0</math>에 대해 <math>m!x\in\mathbb{Z}</math>, 즉 <math>\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=1</math>이 성립한다. 반면 만약 <math>x\notin\mathbb{Q}</math>이면, 모든 <math>m\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>m!x\notin\mathbb{Z}</math>이므로 <math>\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=0</math>이다. 따라서
디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 임의의 닫힌구간 위에서 [[리만 적분]] 불가능이다. 구체적으로, 그 [[상적분]]과 [[하적분]]은 각각 다음과 같다.
 
:<math>\lim_overline{m\to\inftyint_a^b}\lim_1_{n\to\infty}\cos^{2nmathbb Q}(m!\pi x)dx=b-a</math>
:<math>\underline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=0</math>
\begin{cases}
그러나 디리클레 함수는 [[단순 함수]]이므로, [[르베그 적분]] 가능하며, 그 [[르베그 적분]]은
1, & x\in\mathbb{Q} \\
0,:<math>\int & x\notin1_{\mathbb{ Q}d\mu=0</math>
이다.
\end{cases}</math>
{{증명}}
 
임의의 닫힌구간 <math>[a,b]</math> 및 임의의 분할
가 성립한다.
:<math>P=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\}</math>
 
에 대하여, 각 소구간 <math>[x_{i-1},x_i]</math>은 [[유리수]]와 [[무리수]]를 원소로 포함하므로,
== 연속성 ==
:<math>\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)=1</math>
디리클레 함수는 [[정의역]] <math>\mathbb{R}</math> 상의 모든 점에서 불연속이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
:<math>\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)=0</math>
 
이다. 따라서 <math>P</math>에 대한 [[리만 상합]]과 [[리만 하합]]은
임의의 실수 <math>x</math>와 [[빠진 근방]] <math>N'=(x-\frac1n,x)\cup(x,x+\frac1n)</math>에 대하여, <math>N'</math>에 속하는 유리수 <math>q_n</math>과 무리수 <math>i_n</math>이 존재한다. 두 수열은 <math>x</math>로 수렴하며 <math>x</math>를 값으로 취하지 않는다. 또한 다음을 만족한다.
:<math>U(1_{\mathbb Q},P)=\sum_{i=1}^n\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)\cdot(x_i-x_{i-1})=b-a</math>
 
:<math>L(1_{\mathbb Q},P)=\lim_sum_{i=1}^n\toinf_{x\inftyin[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}f(q_nx)=\cdot(x_i-x_{i-1})=0</math>
이며, 그 [[상적분]]과 [[하적분]]은
:<math>\lim_{n\to\infty}f(i_n)=0</math>
:<math>\overline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=\inf_PU(1_{\mathbb Q},P)=\inf_P(b-a)=b-a</math>
 
:<math>\underline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=\sup_PL(1_{\mathbb Q},P)=\sup_P0=0</math>
따라서 <math>x</math>에서 <math>f</math>의 극한이 존재하지 않으므로, <math>x</math>에서 불연속이다.
이다.
 
== 주기성 ==
유리수, 무리수에 유리수를 더하면 각각 유리수, 무리수이므로, 임의의 유리수 <math>q</math>에 대해 <math>f(x+q)=f(x)</math>가 성립한다. 따라서 디리클레 함수는 모든 유리수를 주기로 둔다.<ref>반대로 모든 무리수는 주기가 아니다.</ref> 디리클레 함수는 기본주기(즉 양의 최소 주기)가 없는 주기함수의 한 예이다.
 
== 리만 적분 ==
디리클레 함수는 임의의 구간 <math>[a,b]</math>에서 [[리만 적분]] 불가능이다.
 
그 이유는, 구간 <math>[a,b]</math>에 대해 임의의 [[집합의 분할|분할]] <math>P</math>를 취했을 때, 모든 소구간 <math>[x_{k-1},x_k]</math>은 유리수, 무리수를 원소로 포함하기에 다음이 성립한다.
 
:<math>\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)=1</math>
:<math>\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)=0</math>
 
따라서 <math>P</math>에서의 [[리만 상합과 리만 하합]]은 다음과 같다.
 
:<math>U(P)=\sum_{k=1}^n\left( (x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)\right) =b-a</math>
:<math>L(P)=\sum_{k=1}^n\left( (x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)\right) =0</math>
 
[[리만 상적분과 리만 하적분|상적분과 하적분]]은 임의의 분할에 대한 리만 상합의 하한, 리만 하합의 상한을 취한 것이다.
 
:<math>\overline{\int_{a}^{b}}f(x)\, dx=\inf_P U(P)=b-a</math>
:<math>\underline{\int_{a}^{b}}f(x)\, dx=\sup_P L(P)=0</math>
 
이로써 디리클레 함수는 임의의 구간에서 상적분과 하적분이 같지 않으므로 리만 적분 불가능하다.
 
== 르베그 적분 ==
디리클레 함수는 [[단순 함수]]이다, 즉 음이 아닌 유한 개의 값만을 취하는 [[가측 함수]]이다. 따라서 임의의 구간 <math>I</math> 위의 [[르베그 적분]]은
 
:<math>\int_{I} fd\lambda = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q})</math>
 
이다. 여기서 <math>\lambda</math>는 [[르베그 측도]]이다.
 
주의할 점은 <math>\lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})</math>가 무슨 값이 되더라도 0을 곱하면 결과가 0이 된다는 것이다.<ref>심지어 그 값이 무한대이어도 그러하다.</ref> 이는 측도 이론에서의 규약에 따른 것이다. 반면에, <math>\lambda(I \cap \mathbb{Q})</math>의 값은 항상 0이다, 유리수 집합은 [[가산 집합]]이므로 [[영측도]]이기 때문에 그렇다.
 
이에 따라 디리클레 함수의 임의의 구간 <math>I</math> 위의 르베그 적분은
 
:<math>\int_{I} fd\lambda = 0</math>
 
[[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 [[가산 집합]]이므로, [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위의 [[보렐 집합]]이며, 특히 [[르베그 가측 집합]]이다. 따라서 디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 [[단순 함수]]이며, 특히 [[가측 함수]]이다. 그 [[르베그 적분]]은
:<math>\int 1_{\mathbb Q}d\mu=\mu(\mathbb Q)=0</math>
이다.
{{증명 끝}}
 
== 토메 함수 ==
디리클레 함수의 유리수에서의 값을 <math>\frac{1}{q}</math>(<math>q</math>는 그 유리수의 기약 형식의 분모)로 변경하면, [[토메 함수]]를 얻는다. 토메 함수는 모든 무리수점에서 연속, 모든 유리수점에서 불연속이며, 디리클레 함수와 다르게 리만 적분 가능하다.
 
== 역사 ==
[[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 1829년에 제시하였다.<ref>Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], ''Journal für reine und angewandte Mathematik'' [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169.</ref>
[[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 1829년에 제시하였다.
 
== 각주 ==
줄 111 ⟶ 85:
 
== 외부 링크 ==
* {{매스월드eom|id=DirichletFunction|title제목=Dirichlet Function-function}}
* {{매스월드|id=DirichletFunction|제목=Dirichlet function}}
 
[[분류:특수 함수]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레_함수"