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디리클레 함수(-函數, 영어: Dirichlet function)는 실수 집합의 유리수 집합에 대한 지시 함수이다. 독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 이름을 따서 명명하였다.[1] 형식적으로 이 함수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 는 각각 유리수와 유리수를 제외한 무리수의 집합이다.

디리클레 함수는 임의의 유리수를 주기로 가진다. 그 밖에, 모든 곳에서의 극한이 존재하지 않고, 모든 곳에서 불연속이며, 모든 구간에서 리만 적분 불가능이다.

표현편집

디리클레 본인에 의한 연속함수의 극한으로의 표기는 다음과 같다.

 

그러므로 디리클레 함수는 베르의 분류에 따르면 2 등급 함수이다. 또한 1 등급 함수일 수 없다. 베르 1 등급 함수는 제1 범주 집합에서만 불연속점일 수 있기 때문이다.[2]

위의 등식을 증명하자면, 제일 안에 있는 코사인을 먼저 생각하면 다음이 성립한다.

 

여기에  승을 하고  에 대해 극한을 취한다.

 

다시  에 대한 극한을 취한다. 이때 만약  이면,  이 존재하여 임의의  에 대해  , 즉  이 성립한다. 반면 만약  이면, 모든  에 대해  이므로  이다. 따라서

 

가 성립한다.

연속성편집

디리클레 함수는 정의역   상의 모든 점에서 불연속이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

임의의 실수  빠진 근방  에 대하여,  에 속하는 유리수  과 무리수  이 존재한다. 두 수열은  로 수렴하며  를 값으로 취하지 않는다. 또한 다음을 만족한다.

 
 

따라서  에서  의 극한이 존재하지 않으므로,  에서 불연속이다.

주기성편집

유리수, 무리수에 유리수를 더하면 각각 유리수, 무리수이므로, 임의의 유리수  에 대해  가 성립한다. 따라서 디리클레 함수는 모든 유리수를 주기로 둔다.[3] 디리클레 함수는 기본주기(즉 양의 최소 주기)가 없는 주기함수의 한 예이다.

리만 적분편집

디리클레 함수는 임의의 구간  에서 리만 적분 불가능이다.

그 이유는, 구간  에 대해 임의의 분할  를 취했을 때, 모든 소구간  은 유리수, 무리수를 원소로 포함하기에 다음이 성립한다.

 
 

따라서  에서의 리만 상합과 리만 하합은 다음과 같다.

 
 

상적분과 하적분은 임의의 분할에 대한 리만 상합의 하한, 리만 하합의 상한을 취한 것이다.

 
 

이로써 디리클레 함수는 임의의 구간에서 상적분과 하적분이 같지 않으므로 리만 적분 불가능하다.

르베그 적분편집

디리클레 함수는 단순 함수이다, 즉 음이 아닌 유한 개의 값만을 취하는 가측 함수이다. 따라서 임의의 구간   위의 르베그 적분

 

이다. 여기서  르베그 측도이다.

주의할 점은  가 무슨 값이 되더라도 0을 곱하면 결과가 0이 된다는 것이다.[4] 이는 측도 이론에서의 규약에 따른 것이다. 반면에,  의 값은 항상 0이다, 유리수 집합은 가산 집합이므로 영측도이기 때문에 그렇다.

이에 따라 디리클레 함수의 임의의 구간   위의 르베그 적분은

 

이다.

토메 함수편집

디리클레 함수의 유리수에서의 값을  ( 는 그 유리수의 기약 형식의 분모)로 변경하면, 토메 함수를 얻는다. 토메 함수는 모든 무리수점에서 연속, 모든 유리수점에서 불연속이며, 디리클레 함수와 다르게 리만 적분 가능하다.

역사편집

페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다.

각주편집

  1. Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], Journal für reine und angewandte Mathematik [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169.
  2. Dunham, William (2005). 《The Calculus Gallery》 (영어). Princeton University Press. 197쪽. ISBN 0-691-09565-5. 
  3. 반대로 모든 무리수는 주기가 아니다.
  4. 심지어 그 값이 무한대이어도 그러하다.

외부 링크편집