디리클레 함수

수학에서, 디리클레 함수(영어: Dirichlet function)는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수이다.

정의편집

디리클레 함수  는 다음과 같다.

 

여기서  계승,  코사인,   는 각각 유리수무리수의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수  베르 2급 함수이다.[1] 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다.

증명:

만약  라면,   를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의  에 대하여,  이므로,  이다. 따라서,

 

이다.

만약  라면, 임의의  에 대하여  이므로,  이다. 따라서,

 

이다.

성질편집

주기성편집

디리클레 함수  는 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다.

증명:

임의의   에 대하여,  임을 보이면 된다. 만약  라면,  이므로,

 

이다. 만약  라면,  이므로,

 

이다.

이제, 귀류법을 사용하여,   의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면,   역시  의 양의 주기이며,  이다. 이는  이 최소 양의 주기인 것과 모순이다.

연속성편집

디리클레 함수  는 모든 점에서 불연속이다. 이는 임의의  에 대하여,

 
 

이기 때문이다.

증명:

임의의  에 대하여,  로 수렴하는 유리수 수열  무리수 수열  을 취할 수 있다. 그렇다면

 
 

이다.

적분편집

디리클레 함수  는 모든 점에서 불연속이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분하적분은 각각 다음과 같다.

 
 

그러나 디리클레 함수는 단순 함수이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분

 

이다.

증명:

임의의 닫힌구간   및 임의의 분할

 

에 대하여, 각 소구간  유리수무리수를 원소로 포함하므로,

 
 

이다. 따라서  에 대한 리만 상합리만 하합

 
 

이며, 그 상적분하적분

 
 

이다.

유리수의 집합  가산 집합이므로, 실수선   위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서  단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분

 

이다. 이에 따라  르베그 적분 가능하다.

역사편집

독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다.[2]

같이 보기편집

각주편집

  1. Dunham, William (2005). 《The Calculus Gallery》 (영어). Princeton University Press. 197쪽. ISBN 0-691-09565-5. 
  2. Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], Journal für reine und angewandte Mathematik [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169.

외부 링크편집