디리클레 함수

수학에서 디리클레 함수(영어: Dirichlet function)는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수이다.

정의

디리클레 함수 $1_{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {R} \to \{0,1\}$는 다음과 같다.

$1_{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

여기서 $m!$는 계승, $\cos$는 코사인, $\mathbb {Q}$와 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$는 각각 유리수와 무리수의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 $1_{\mathbb {Q} }$는 베르 2급 함수이다. 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다.

증명:

만약 $x\in \mathbb {Q}$라면, $\textstyle x={\frac {a}{b}}$인 $a,b\in \mathbb {Z}$를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 $m\geq b$에 대하여, $m!x\in \mathbb {Z}$이므로, $\cos(m!\pi x)\in \{-1,1\}$이다. 따라서,

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }1=1$

이다.

만약 $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$라면, 임의의 $m\geq 0$에 대하여 $m!x\notin \mathbb {Z}$이므로, $\cos(m!\pi x)\in (-1,1)$이다. 따라서,

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }0=0$

이다.

성질

주기성

디리클레 함수 $1_{\mathbb {Q} }$는 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다.

증명:

임의의 $t\in \mathbb {Q}$ 및 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, $1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1_{\mathbb {Q} }(x)$임을 보이면 된다. 만약 $x\in \mathbb {Q}$라면, $x+t\in \mathbb {Q}$이므로,

$1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1=1_{\mathbb {Q} }(x)$

이다. 만약 $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$라면, $x+t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$이므로,

$1_{\mathbb {Q} }(x+t)=0=1_{\mathbb {Q} }(x)$

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, $t_{0}\in \mathbb {Q} ^{+}$가 $1_{\mathbb {Q} }$의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, $\textstyle {\frac {t_{0}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}$ 역시 $1_{\mathbb {Q} }$의 양의 주기이며, $\textstyle {\frac {t_{0}}{2}}<t_{0}$이다. 이는 $t_{0}$이 최소 양의 주기인 것과 모순이다.

연속성

디리클레 함수 $1_{\mathbb {Q} }$는 모든 점에서 불연속이다. 이는 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여,

$\limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=1$

$\liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=0$

이기 때문이다.

증명:

임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, $x$로 수렴하는 유리수 수열 $(x_{n})_{n=0}^{\infty }$과 무리수 수열 $(y_{n})_{n=0}^{\infty }$을 취할 수 있다. 그렇다면

$1=\lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(x_{n})\leq \limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \sup _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)=1$

$0=\inf _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(y_{n})=0$

이다.

적분

디리클레 함수 $1_{\mathbb {Q} }$는 모든 점에서 불연속이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분과 하적분은 각각 다음과 같다.

${\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=b-a$

${\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=0$

그러나 디리클레 함수는 단순 함수이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분은

$\int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =0$

이다.

증명:

임의의 닫힌구간 $[a,b]$ 및 임의의 분할

$P=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}\qquad (a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b)$

에 대하여, 각 소구간 $[x_{i-1},x_{i}]$은 유리수와 무리수를 원소로 포함하므로,

$\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=1$

$\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=0$

이다. 따라서 $P$에 대한 리만 상합과 리만 하합은

$U(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=b-a$

$L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=0$

이며, 그 상적분과 하적분은

${\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\inf _{P}U(1_{\mathbb {Q} },P)=\inf _{P}(b-a)=b-a$

${\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\sup _{P}L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sup _{P}0=0$

이다.

유리수의 집합 $\mathbb {Q}$는 가산 집합이므로, 실수선 $\mathbb {R}$ 위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서 $1_{\mathbb {Q} }$는 단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분은

$\int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0$

이다. 이에 따라 $1_{\mathbb {Q} }$는 르베그 적분 가능하다.

역사

독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다.

같이 보기

• 토메 함수

외부 링크

• “Dirichlet-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.