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단조 수렴 정리: 두 판 사이의 차이

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{{다른 뜻|단조 수렴 정리 (수열)}}
[[실해석학]]에서, '''단조 수렴 정리'''(單調收斂定理, {{llang|en|monotone convergence theorem}})는 [[단조수열|단조]] [[유계 수열]]이 항상 [[수렴]]한다는 정리이다. [[실수]]의 경우, [[실수]] [[유계 수열|유계]] [[증가수열]]은 그 [[상한]]으로 수렴하며, 실수 유계 [[감소 수열]]은 그 [[하한]]으로 수렴한다. [[급수 (수학)|급수]]의 경우, 수렴 급수의 증가 열에 대하여, 급수의 합의 극한은 급수의 점별 극한의 합과 같다. [[르베그 적분]]의 경우, 음이 아닌 값의 [[가측 함수]]의 증가 열에 대하여, 함수의 적분의 극한은 함수의 점별 극한의 적분과 같다.
[[실해석학]]에서, '''단조 수렴 정리'''(單調收斂定理, {{llang|en|monotone convergence theorem}})는 [[가측 함수]]의 증가 함수열의 [[르베그 적분]]과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.
 
== 정의 ==
=== 실수열의 경우 ===▼
실수 [[단조 수열]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\displaystyle\sup_{n\in\mathbb N}a_n&a_1\le a_2\le a_3\le\cdots\\\displaystyle\inf_{n\in\mathbb N}a_n&a_1\ge a_2\ge a_3\ge\cdots\end{cases}</math>
이에 따라, 실수 단조 수열 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 [[수렴]]한다.
* <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 [[유계 수열]]이다.
 
=== 급수열의 경우 ===
실수 무한 행렬 <math>(a_{ij})_{i,j\in\mathbb N}</math>의 각 행을 급수라 여기자. 또한, 다음 조건을 만족시킨다고 하자.▼
* (양항 급수열) 임의의 <math>i,j\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>a_{ij}\ge0</math>▼
* (수렴급수열) 임의의 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\sum_{j=1}^\infty a_{ij}<\infty</math>▼
* (점별 증가 유계) 임의의 <math>j\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>(a_{ij})_{i\in\mathbb N}</math>는 유계 [[증가 수열]]이다.▼
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|저자=J Yeh|제목=Real analysis. Theory of measure and integration|쪽=168|연도=2006}}</ref>▼
:<math>\lim_{i\to\infty}\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{j=1}^\infty\lim_{i\to\infty}a_{ij}<\infty</math>▼
즉, 급수를 취한 뒤 극한을 취하거나, 극한을 취한 뒤 급수를 취할 수 있으며, 이 두 연산은 교환 가능하다.▼
 
=== 함수열의 경우 ===
가측 함수열에 대한 단조 수렴 정리는 앞선 정리의 일반화이며, 가장 중요한 단조 수렴 정리이다. [[앙리 르베그]]의 단조 수렴 정리라고 부르거나, [[베포 레비]]의 정리라고 부른다.<ref>계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 30쪽</ref>
 
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== 증명 ==
=== 실수열의 경우 ===
<math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 증가 위로 유계 수열이라고 하자. 그렇다면 이는 집합으로서 공집합이 아닌 위로 유계 집합이므로, [[상한 공리]]에 따라 [[상한과 하한|상한]]
:<math>a=\sup_{n\in\mathbb N}a_n\in\mathbb R</math>
이 존재한다. 상한의 정의에 따라 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>a-\epsilon<a_N\le a</math>
인 <math>N\in\mathbb N</math>이 존재한다. 증가 수열이므로, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여,
:<math>a-\epsilon<a_N\le a_n\le a</math>
이다. 즉,
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>
이제, <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 위로 무계 증가 수열이라고 하자. 그렇다면 우선
:<math>\sup_{n\in\mathbb N}a_n=\infty</math>
이다. 위로 무계 수열이므로, 임의의 <math>M\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>a_N>M</math>
인 <math>N\in\mathbb N</math>이 존재한다. 증가 수열이므로, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여,
:<math>a_n\ge a_N>M</math>
이다. 즉,
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</math>
비슷하게 감소 수열에 대한 명제를 증명할 수 있다.
 
=== 함수열의 경우 ===
'''<math>f=\lim_{n\to\infty}f_n</math>의 가측성의 증명:''' 항등식 <math>f^{-1}([0,a])=\bigcap_{n\in\mathbb N}f_n^{-1}([0,a])</math>에 의하여 성립한다.
 
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를 얻는다.
 
== 예따름정리 ==
▲=== 실수열의급수의 경우 ===
실수열의 극한
▲실수 무한 행렬 <math>(a_{ij})_{i,j\in\mathbb N}</math>의 각 행을 급수라 여기자. 또한, 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}</math>
▲* (양항 급수열) 임의의 <math>i,j\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>a_{ij}\ge0</math>
의 극한을 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수열 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 극한이다.
▲* (수렴급수열) 임의의 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\sum_{j=1}^\infty a_{ij}<\infty</math>
:<math>a_1=\sqrt 2</math>
▲* (점별 증가 유계) 임의의 <math>j\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>(a_{ij})_{i\in\mathbb N}</math>는 유계 [[증가 수열]]이다.
:<math>a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\qquad(n=1,2,\dots)</math>
▲그렇다면, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|저자=J Yeh|제목=Real analysis. Theory of measure and integration|쪽=168|연도=2006}}</ref>
:<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=\lim_{n\to\infty}a_n</math>
▲:<math>\lim_{i\to\infty}\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{j=1}^\infty\lim_{i\to\infty}a_{ij}<\infty</math>
이 수열은 다음과 같은 귀납에 따라 증가 수열이다.
▲즉, 급수를 취한 뒤 극한을 취하거나, 극한을 취한 뒤 급수를 취할 수 있으며, 이 두 연산은 교환 가능하다.
:<math>a_2=\sqrt{2+\sqrt 2}>\sqrt 2=a_1</math>
:<math>a_{n+1}>a_n\implies a_{n+2}=\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_n}=a_{n+1}</math>
또한 다음과 같은 귀납에 따라 위로 유계이다.
:<math>a_1<\sqrt 2+1</math>
:<math>a_n<\sqrt 2+1\implies a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+\sqrt 2+1}<\sqrt{2+2\sqrt 2+1}=\sqrt 2+1</math>
단조 수렴 정리에 따라, <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 수렴한다. 이제
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>
라고 하고, 식
:<math>a_{n+1}^2=2+a_n\qquad(n=1,2,\dots)</math>
양변에 극한을 취할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
:<math>a^2=2+a</math>
또한 <math>a\ge a_1>0</math>이므로, 극한은 이 이차 방정식의 양의 근인 2와 같다.
:<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=2</math>
 
=== 일반화 단조 유계 수열의 수렴성 ===
단조 수렴 정리를 사용하여 다음과 같은 일반화된 정리를 증명할 수 있다.<ref name="Bibby">{{저널 인용
|성=Bibby
|이름=John
|제목=Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences
|언어=en
|저널=Glasgow Mathematical Journal
|권=15
|호=1
|쪽=63-65
|날짜=1974-03
|issn=0017-0895
|doi=10.1017/S0017089500002135
}}</ref> 실수열 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 <math>m\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R</math>이 존재한다고 하자.
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* 임의의 <math>k\in\{1,\dots,m\}</math> 및 <math>x_1,\dots,x_k,x_k',\dots,x_m,\in\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>x_k<x_k'</math>이라면 <math>f(x_1,\dots,x_k,\dots,x_m)<f(x_1,\dots,x_k',\dots,x_m)</math>이다.
* 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>f(x,\dots,x)=x</math>
* 임의의 <math>n\in\{m+1,m+2,\dots\}</math>에 대하여, <math>f(a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-m})\le a_n</math>
그렇다면,
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\in\mathbb N}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-m}\}\in\mathbb R\sqcup\{\infty\}</math>
이다. 또한, 이 수열이 수렴할 필요충분조건은 유계 수열인 것이다.
 
== 같이 보기 ==
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== 외부 링크 ==
* {{eom|title제목=Lebesgue theorem}}
* {{매스월드|id=MonotoneConvergenceTheorem|title제목=Monotone convergence theorem}}
* {{플래닛매스|idurlname=monotoneconvergencetheorem|title제목=Monotone convergence theorem}}
* {{플래닛매스|idurlname=proofofmonotoneconvergencetheorem|title제목=Proof of monotone convergence theorem}}
 
* {{proofwiki|id=Monotone Convergence Theorem (Real Analysis)|제목=Monotone convergence theorem (real analysis)}}
* {{proofwiki|id=Monotone Convergence Theorem (Measure Theory)|제목=Monotone convergence theorem (measure theory)}}
 
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/단조_수렴_정리"