단조 수렴 정리 (수열)

실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 실수 항의 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다.

정의

실수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$이 주어졌다고 하자. 단조 수렴 정리에 따르면, 만약 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$가 증가 수열이라면 ($a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots$), 다음이 성립한다.

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]$

마찬가지로, 만약 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$가 감소 수열이라면 ($a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots$), 다음이 성립한다.

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\geq 0}a_{n}\in [-\infty ,\infty )$

여기서 $\sup ,\inf$는 각각 상한과 하한을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 실수 단조 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$은 ($\mathbb {R}$에서) 수렴한다.
• $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$는 유계 수열이다.

증명:

임의의 실수 증가 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$에 대하여, 그 상한을

$L=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]$

이라고 하자.

만약 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$이 유계 수열이라면, $L<\infty$이다. $L$의 정의에 따라, 임의의 $\epsilon >0$에 대하여,

$a_{N}>L-\epsilon$

인 $N\geq 0$이 존재한다. 따라서, 임의의 $n\geq N$에 대하여,

$L-\epsilon <a_{N}\leq a_{n}\leq L<L+\epsilon$

이다. 즉,

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

이 성립한다.

만약 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$이 무계 수열이라면, $L=\infty$이다. 임의의 $M>0$에 대하여,

$a_{N}>M$

인 $N\geq 0$이 존재하며, 임의의 $n\geq N$에 대하여

$a_{n}\geq a_{N}>M$

이다. 즉,

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$

이 성립한다.

예

확장된 실수

${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}$

를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$의 극한이다.

$a_{1}={\sqrt {2}}$

$a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}\qquad (n\geq 1)$

수학적 귀납법을 통해 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다.

$a_{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}>{\sqrt {2}}=a_{1}$

$a_{n+1}>a_{n}\implies a_{n+2}={\sqrt {2+a_{n+1}}}>{\sqrt {2+a_{n}}}=a_{n+1}\qquad (n\geq 1)$

또한 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$은 다음에 따라 ${\sqrt {2}}+1$을 상계로 가지므로, 유계 수열이다.

$a_{1}={\sqrt {2}}<{\sqrt {2}}+1$

$a_{n}<{\sqrt {2}}+1\implies a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}<{\sqrt {2+{\sqrt {2}}+1}}<{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}+1\qquad (n\geq 1)$

단조 수렴 정리에 따라, $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$은 수렴한다. 이제

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

이라고 하고 등식

$a_{n+1}^{2}=2+a_{n}\qquad (n\geq 1)$

의 양변에 극한을 취하면

$L^{2}=2+L$

을 얻으며, 이를 풀면 $L=-1$이거나 $L=2$임을 얻는다. 또한 $L\geq a_{1}>0$이므로,

${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=L=2$

이다.

일반화

실수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 $k>0$ 및 연속 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$이 존재한다고 하자.

• 임의의 $1\leq i\leq k$ 및 $x_{1},\dots ,x_{i},x_{i}',\dots ,x_{k},\in \mathbb {R}$에 대하여, 만약 $x_{i}<x_{i}'$이라면 $f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{k})<f(x_{1},\dots ,x_{i}',\dots ,x_{k})$이다.
• 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, $f(x,\dots ,x)=x$
• 임의의 $n\geq k$에 대하여, $f(a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k})\leq a_{n}$

그렇다면,

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k}\}\in (-\infty ,\infty ]$

이다. 또한, $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열이다.

외부 링크

• “Monotone convergence theorem (real analysis)”. 《ProofWiki》 (영어).