위키백과

보렐-칸텔리 보조정리: 두 판 사이의 차이

입체적으로 역사 찾아보기
← 이전 편집다음 편집 →
내용 삭제됨 내용 추가됨
시각위키텍스트
편집 요약 없음
32번째 줄:
[[미적분학]]을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.
:<math>1-x\le\exp(-x)</math>
이 부등식과 <math>(A_i)_{i=1}^\infty</math>의 독립성에 따라, 임의의 <math>n=1,2,\dots</math>에 대하여 다음이 성립한다.
따라서 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
1-\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{i=n=1}^\infty(\bigcup_{i=n}^Omega\inftysetminus A_i)\right)
&=\lim_{m\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{i=n}^\inftym(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=\lim_{nm\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcap_prod_{i=n}^m(1-\inftyoperatorname{Pr}(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}le\lim_{km\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcap_prod_{i=n}^m\exp(-\operatorname{n+kPr}(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=\lim_{nm\to\infty}\lim_{kexp\toleft(-\infty}\prod_sum_{i=n}^{n+k}(1-m\operatorname{Pr}(A_i)\right)\\
&\le\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\prod_{i=n}^{n+k}\exp(-\operatorname{Pr}(A_i))\\
&=\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\exp\left(-\sum_{i=n}^{n+k}\operatorname{Pr}(A_i)\right)\\▼
&=\lim_{n\to\infty}0\\
&=0
\end{align}
</math>
따라서 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=1</math>
&=1-\operatorname{Pr}\left(\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{i=n}^\infty(\Omega\setminus A_i)\right)\\
이다.
▲&=1-\lim_{n\to\infty}\lim_operatorname{k\to\inftyPr}\exp\left(-\sum_bigcap_{i=n}^{n+k}\operatorname{Pr}infty(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=1
\end{align}
</math>
{{증명 끝}}
 
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/보렐-칸텔리_보조정리"