보렐-칸텔리 보조정리

확률론에서, 보렐-칸텔리 보조정리(영어: Borel–Cantelli lemma)는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.[1][2][3][4]

정의편집

보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리(영어: (first) Borel–Cantelli lemma)와 제2 보렐-칸텔리 보조정리(영어: second Borel–Cantelli lemma)로 구성된다.

확률 공간   속 사건의 열  에 대하여, 다음이 성립한다.

  • (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약  라면,  이다.
  • (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약  이며  독립이라면,  이다.

제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

증명 1: 가정 및 확률 측도의 성질에 따라

 

이다. 따라서

 

이다.

증명 2: 다음과 같은, 확장된 실수 값의 확률 변수를 정의하자.

 

그렇다면 단조 수렴 정리에 따라 다음이 성립한다.

 

따라서

 

이다.

제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.

 

이 부등식과  의 독립성에 따라, 임의의  에 대하여 다음이 성립한다.

 

따라서 다음이 성립한다.

 

일반화편집

제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

코첸-스톤 부등식편집

확률 공간   속 사건의 열  에 대하여,

 

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]

  •  
  • 만약  라면,  이다.
    • 특히, 만약  라면 위 확률은 0보다 크다.
    • 특히, 만약  이라면 위 확률은 1이다.[1]:88, §[1.]6, Theorem 6.3
  • 만약  이며  가 쌍마다 독립이라면,  이다.[1]:89, §[1.]6, Example 6.4 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.

페트로프의 일반화편집

확률 공간   속 사건의 열   및 임의의 실수  에 대하여,

 

라고 하자. 그렇다면, 만약

 

라면,

 

이다.[4]

특히, 코첸-스톤 부등식은  인 특수한 경우이다.

역사편집

에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(이탈리아어: Francesco Paolo Cantelli)가 제시하였다.

사이먼 버나드 코첸(영어: Simon Bernhard Kochen)과 찰스 졸 스톤(영어: Charles Joel Stone)이 한 가지 일반화를 제시하였다.[2] 발렌틴 블라디미로비치 페트로프(러시아어: Валентин Владимирович Петров)는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.[3][4]

참고 문헌편집

  1. Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4. 
  2. Kochen, Simon; Stone, Charles (1964). “A note on the Borel–Cantelli lemma”. 《Illinois Journal of Mathematics》 (영어) 8 (2): 248–251. doi:10.1215/ijm/1256059668. ISSN 0019-2082. MR 0161355. Zbl 0139.35401. 
  3. Petrov, Valentin V. (2002년 7월 1일). “A note on the Borel–Cantelli lemma”. 《Statistics & Probability Letters》 (영어) 58 (3): 283–286. doi:10.1016/S0167-7152(02)00113-X. ISSN 0167-7152. 
  4. Petrov, Valentin V. (2004년 4월 15일). “A generalization of the Borel–Cantelli lemma”. 《Statistics & Probability Letters》 (영어) 67 (3): 233–239. doi:10.1016/j.spl.2004.01.008. ISSN 0167-7152. 

외부 링크편집