보렐-칸텔리 보조정리
확률론에서, 보렐-칸텔리 보조정리(영어: Borel–Cantelli lemma)는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.[1][2][3][4]
정의편집
보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리(영어: (first) Borel–Cantelli lemma)와 제2 보렐-칸텔리 보조정리(영어: second Borel–Cantelli lemma)로 구성된다.
확률 공간 속 사건의 열 에 대하여, 다음이 성립한다.
- (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 라면, 이다.
- (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 이며 가 독립이라면, 이다.
제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:
제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:
일반화편집
제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.
코첸-스톤 부등식편집
확률 공간 속 사건의 열 에 대하여,
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]
- 만약 라면, 이다.
- 특히, 만약 라면 위 확률은 0보다 크다.
- 특히, 만약 이라면 위 확률은 1이다.[1]
- 만약 이며 가 쌍마다 독립이라면, 이다.[1] 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.
페트로프의 일반화편집
확률 공간 속 사건의 열 및 임의의 실수 에 대하여,
라고 하자. 그렇다면, 만약
라면,
이다.[4]
특히, 코첸-스톤 부등식은 인 특수한 경우이다.
역사편집
에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(이탈리아어: Francesco Paolo Cantelli)가 제시하였다.
사이먼 버나드 코첸(영어: Simon Bernhard Kochen)과 찰스 졸 스톤(영어: Charles Joel Stone)이 한 가지 일반화를 제시하였다.[2] 발렌틴 블라디미로비치 페트로프(러시아어: Валентин Владимирович Петров)는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.[3][4]
참고 문헌편집
- ↑ 가 나 다 Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
- ↑ 가 나 다 Kochen, Simon; Stone, Charles (1964). “A note on the Borel–Cantelli lemma”. 《Illinois Journal of Mathematics》 (영어) 8 (2): 248–251. doi:10.1215/ijm/1256059668. ISSN 0019-2082. MR 0161355. Zbl 0139.35401.
- ↑ 가 나 Petrov, Valentin V. (2002년 7월 1일). “A note on the Borel–Cantelli lemma”. 《Statistics & Probability Letters》 (영어) 58 (3): 283–286. doi:10.1016/S0167-7152(02)00113-X. ISSN 0167-7152.
- ↑ 가 나 다 Petrov, Valentin V. (2004년 4월 15일). “A generalization of the Borel–Cantelli lemma”. 《Statistics & Probability Letters》 (영어) 67 (3): 233–239. doi:10.1016/j.spl.2004.01.008. ISSN 0167-7152.
외부 링크편집
- Prokhorov, A. V. (2001). “Borel-Cantelli lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.