보렐-칸텔리 보조정리

보렐-칸텔리 보조정리(Borel–Cantelli lemma)는 무한한 개수의 사건이 일어날 확률에 대한 정리이다. 이 정리의 이름은 에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(Francesco Paolo Cantelli)의 이름을 딴 것이다.

정리

확률공간에서의 사건열 $\{E_{n}\}$에 대해서, 만약 $\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty$라면, $\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0$이 성립한다.

여기에서 $\limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}$은 상극한으로, 사건들에서 앞의 유한개를 제외해도 남은 사건들 중 하나 이상이 일어나는 사건을 의미한다.

증명

상극한의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=\Pr \left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \inf _{N\geq 1}\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)$

확률측도의 성질에 따라 다음이 성립한다.

$\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})$

따라서,

$\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)\leq \inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})$

이 되며, 우변의 값은 0이므로 정리가 성립한다.