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보렐-칸텔리 보조정리: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
보렐-칸텔리 보조정리는 '''(제1) 보렐-칸텔리 보조정리'''({{llang|en|(first) Borel–Cantelli lemma}})와 '''제2 보렐-칸텔리 보조정리'''({{llang|en|second Borel–Cantelli lemma}})로 구성된다.
 
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 속 사건의 열 <math>(A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* ('''(제1) 보렐-칸텔리 보조정리''', {{llang|en|(first) Borel–Cantelli lemma}}) 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)<\infty</math>라면, <math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=0</math>이다.
* ('''제2 보렐-칸텔리 보조정리''', {{llang|en|second Borel–Cantelli lemma}}) 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty</math>이며 <math>(A_i)_{i=1}^\infty</math>가 [[독립 (확률론)|독립]]이라면, <math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=1</math>이다.
{{증명|제목=제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명}}
증명 1: 가정 및 [[확률 측도]]의 성질에 따라
줄 53 ⟶ 55:
 
== 일반화 ==
제2 보렐-칸텔리 보조정리의 [[독립 (확률론)|독립]] 조건은보조정리는 다음과 같이 약화할일반화할 수 있다.

=== 코첸-스톤 부등식 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 속 사건의 열 <math>(A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F</math>에 대하여, 만약
:<math>L=\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i,j=1}^\inftyn\operatorname{Pr}(A_nA_i\cap A_j)}{\left(\sum_{i=1}^n\inftyoperatorname{Pr}(A_i)\right)^2}</math>
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Kochen" />
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i,j=1}^n\operatorname{Pr}(A_i\cap A_j)}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}\le 1</math>▼
* <math>L\ge 1</math>
이라면,
:* 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty</math>라면, <math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=\ge 1/L</math>이다.
** 특히, 만약 <math>L<\infty</math>라면 위 확률은 0보다 크다.
이다.<ref name="Billingsley">{{서적 인용▼
** 특히, 만약 <math>L=1</math>이라면 위 확률은 1이다.<ref name="Billingsley">{{서적 인용
|성=Billingsley
|이름=Patrick
줄 70 ⟶ 76:
|isbn=978-0-471-00710-4
}}</ref>{{rp|88, §[1.]6, Theorem 6.3}}
* 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty</math>이며 <math>(A_i)_{i=1}^\infty</math>가 쌍마다 [[독립 (확률론)|독립]]이라면, <math>L=1</math>이다.<ref name="Billingsley" />{{rp|89, §[1.]6, Example 6.4}} 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.
{{증명}}
 
다음과 같은 [[확률 변수]]들을 생각하자.
=== 페트로프의 일반화 ===
:<math>N_n=\sum_{i=1}^n1_{A_i}</math>▼
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 속 사건의 열 <math>(A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F</math> 및 임의의 실수 <math>H\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>N=\sum_{i=1}^\infty 1_{A_i}</math>
▲:<math>\alpha_H=\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i,j=1}^n(\operatorname{Pr}(A_i\cap A_j)-H\operatorname{Pr}(A_i)\operatorname{Pr}(A_j))}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}\le 1</math>
그렇다면, 임의의 <math>n=1,2,3,\dots</math> 및 <math>x=1,2,3,\dots</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
라고 하자. 그렇다면, 만약
:<math>
▲:<math>N_n=\sum_{i=1}^n1_\infty\operatorname{A_iPr}(A_i)=\infty</math>
\begin{align}
라면,
\operatorname{Pr}(N_n\le x)
&\le:<math>\operatorname{Pr}\left(|N_n-\operatornamebigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty E(N_nA_i\right)|\ge\operatorname E1/(N_n)-x)\H+\alpha_H)</math>
이다.<ref name="Petrov2004" />
&\le\frac{\operatorname{Var}(N_n)}{(\operatorname E(N_n)-x)^2}\\
 
&\le\frac{\operatorname E(N_n^2)-\operatorname E(N_n)^2}{(\operatorname E(N_n)-x)^2}\\
특히, 코첸-스톤 부등식은 <math>H=0</math>인 특수한 경우이다.
&=\frac{\sum_{i,j=1}^n\operatorname{Pr}(A_i\cap A_j)-\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)-x\right)^2}\\
&=\frac{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)-x\right)^2}\left(\frac{\sum_{i,j=1}^n\operatorname{Pr}(A_i\cap A_j)}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}-1\right)
\end{align}
</math>
위 결과와 가정에 따라
:<math>\operatorname{Pr}(N\le x)\le\liminf_{n\to\infty}\operatorname{Pr}(N_n\le x)\le 0</math>
이며, 따라서
:<math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=\operatorname{Pr}(N=\infty)=1</math>
이다.
{{증명 끝}}
 
== 역사 ==
[[에밀 보렐]]과 프란체스코 파올로 칸텔리({{llang|it|Francesco Paolo Cantelli}})의가 이름을 땄다제시하였다.
 
사이먼 버나드 코첸({{llang|en|Simon Bernhard Kochen}})과 찰스 졸 스톤({{llang|en|Charles Joel Stone}})이 한 가지 일반화를 제시하였다.<ref name="Kochen">{{저널 인용
|url=https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256059668
|성1=Kochen
|이름1=Simon
|성2=Stone
|이름2=Charles
|제목=A note on the Borel-Cantelli lemma
|언어=en
|저널=Illinois Journal of Mathematics
|권=8
|호=2
|쪽=248–251
|날짜=1964
|issn=0019-2082
|doi=10.1215/ijm/1256059668
|mr=0161355
|zbl=0139.35401
}}</ref> 발렌틴 블라디미로비치 페트로프({{llang|ru|Валентин Владимирович Петров}})는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.<ref name="Petrov2002">{{저널 인용
|성=Petrov
|이름=Valentin V.
|제목=A note on the Borel–Cantelli lemma
|언어=en
|저널=Statistics & Probability Letters
|권=58
|호=3
|쪽=283–286
|날짜=2002-07-01
|issn=0167-7152
|doi=10.1016/S0167-7152(02)00113-X
▲이다.}}</ref><ref name="BillingsleyPetrov2004">{{서적저널 인용
|성=Petrov
|이름=Valentin V.
|제목=A generalization of the Borel–Cantelli lemma
|언어=en
|저널=Statistics & Probability Letters
|권=67
|호=3
|쪽=233–239
|날짜=2004-04-15
|issn=0167-7152
|doi=10.1016/j.spl.2004.01.008
}}</ref>
 
== 참고 문헌 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/보렐-칸텔리_보조정리"