가측 함수: 두 판 사이의 차이
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<math>(X,\mathcal F)</math>가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.
* 두 가측 함수 <math>f,g\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>에 대하여, <math>f+g</math> 및 <math>f\cdot g</math>는 가측 함수이다.
* 가측 함수의 열 <math>f_1,f_2,\dots\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>의 점별
* 모든 르베그 적분 가능 함수 <math>X\to\mathbb R</math>는 가측 함수이다.
34번째 줄:
-g(x)&f(x)\le-g(x)
\end{cases}</math>
=== 바나흐 공간 값 가측 함수 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* ([[보렐 시그마 대수]]를 갖춘) <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>Y</math>
그렇다면, <math>X\to Y</math> '''[[단순 함수]]'''는 다음과 같은 꼴의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다.
:<math>f=\sum_{i=1}^ky_i1_{S_i}</math>
:<math>y_1,\dots,y_k\in Y</math>
:<math>S_1,\dots,S_k\in\mathcal F</math>
:<math>k\in\mathbb N</math>
(여기서 <math>1_{S_i}</math>는 [[지시 함수]]이다.)
이제, 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건을 정의하자.
* ('''강한 가측 함수''', 强한可測函數, {{llang|en|strongly measurable function}}) [[단순 함수]]의 열의 점별 극한이다.
* ('''약한 가측 함수''', 弱한可測函數, {{llang|en|weakly measurable function}}) 임의의 [[연속 쌍대 공간]] 원소 <math>\phi\in Y^*</math>에 대하여, <math>\phi\circ f\colon(X,\mathcal B(X))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))</math>는 가측 함수이다.
이 경우, 모든 강한 가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약한 가측 함수이다. 또한, 약한 가측 함수 조건에서 <math>Y^*</math>는 [[약한-* 위상]]에 대한 임의의 [[조밀 집합]] <math>D\subset Y^*</math>으로 대체할 수 있다.
'''페티스 가측성 정리'''(Pettis可測性定理, {{llang|en|Pettis measurability theorem}})에 따르면, 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hytönen">{{서적 인용
|성1=Hytönen
|이름1=Tuomas
|성2=van Neerven
|이름2=Jan
|성3=Veraar
|이름3=Mark
|성4=Weis
|이름4=Lutz
|제목=Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory
|언어=en
|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics
|권=63
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2016
|isbn=978-3-319-48519-5
|issn=0071-1136
|doi=10.1007/978-3-319-48520-1
|lccn=2016955329
}}</ref>{{rp|5, Theorem 1.1.6}}
* 강한 가측 함수이다.
* 약한 가측 함수이며, <math>f(X)\subset\widetilde Y</math>인 [[분해 가능]] 부분 공간 <math>\widetilde Y\subset Y</math>가 존재한다.
특히, 만약 <math>Y</math>가 [[분해 가능]] [[바나흐 공간]]일 경우, <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 강한 가측 함수이다.
* 가측 함수이다.
* 약한 가측 함수이다.
== 예 ==
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모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 <math>A\subset\mathbb R</math>가 가측 집합이 아닌 경우, [[지시 함수]] <math>1_A(x)</math>는 가측 함수가 아니다.
=== 강한 가측 함수가 아닌 가측 함수 ===
([[보렐 시그마 대수]]를 갖춘) [[분해 가능 공간|분해 불가능]] [[바나흐 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[항등 함수]]
:<math>\operatorname{id}_X\colon x\mapsto x</math>
는 [[연속 함수]]이므로 보렐 가측 함수이지만, 이는 강한 가측 함수가 아니다.<ref name="Hytönen" />{{rp|4, Example 1.1.5}}
{{증명}}
만약 <math>\operatorname{id}_X</math>가 단순 함수의 열
:<math>f_1,f_2,\dots\colon X\to X</math>
의 점별 극한이라면,
:<math>A=f_1(X)\cup f_2(X)\cup\cdots</math>
는 <math>X</math>의 한 [[가산]] [[조밀 집합]]이며, 따라서 <math>X</math>는 [[분해 가능 공간]]이다.
{{증명 끝}}
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |성= Billingsley |이름= Patrick |제목= Probability and Measure |연도= 1995 |출판사= Wiley |isbn=0-471-00710-2}}
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