2021년 1월 21일 (목) 02:05 판 편집 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 →‎바나흐 공간 값 가측 함수 ← 이전 편집		2021년 1월 24일 (일) 05:30 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
39번째 줄: * [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math> * <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> * (표준적인 위상과 [[보렐 시그마 대수]]를 갖춘) <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>Y</math> 그렇다면, <math>X\to Y</math> '''[[단순 함수]]'''는 다음과 같은 꼴의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다. :<math>f=\sum_{i=1}^ky_i1_{S_i}</math> 51번째 줄: * ('''약한 가측 함수''', 弱한可測函數, {{llang\|en\|weakly measurable function}}) 임의의 [[연속 쌍대 공간]] 원소 <math>\phi\in Y^</math>에 대하여, <math>\phi\circ f\colon(X,\mathcal B(X))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))</math>는 가측 함수이다. ('''분해 가능 값 함수''', 分解可能값函數, {{llang\|en\|separably valued function}}) <math>f(X)\subset\widetilde Y</math>인 [[분해 가능]] 부분 공간 <math>\widetilde Y\subset Y</math>가 존재한다. 이 경우, 모든 강한 가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약한 가측 함수이다. 또한, 약한'''페티스 가측가측성 함수정리'''(Pettis可測性定理, {{llang\|en\|Pettis measurability theorem}})에 따르면, ~~조건에서~~함수 <math>f\colon X\to Y^</math>는에 [[약한-대하여, ~~위상]]에~~다음 두 대한조건이 ~~임의의~~서로 [[~~조밀 집합~~동치]] 이다.<~~math>D\subset~~ref ~~Y^</math~~name="Hytönen">으로{{서적 ~~대체할 수 있다.~~인용 '''페티스 가측성 정리'''(Pettis可測性定理, {{llang\|en\|Pettis measurability theorem}})에 따르면, 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hytönen">{{서적 인용 \|성1=Hytönen \|이름1=Tuomas 줄 81 ⟶ 79: 약한 가측 함수이다. [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math> 및 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 ~~([[보렐 시그마 대수]]를 갖춘)~~ 두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>Y</math>, <math>Z</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>f\colon X\to Y</math>가 강한 가측 함수이며, <math>g\colon Y\to Z</math>가 가측 함수라면, <math>g\circ f</math>는 강한 가측 함수이다.<ref name="Hytönen" />{{rp\|7, Corollary 1.1.11}} == 예 == 줄 88 ⟶ 86: 모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 <math>A\subset\mathbb R</math>가 가측 집합이 아닌 경우, [[지시 함수]] <math>1_A(x)</math>는 가측 함수가 아니다. === 강한 ~~가측 함수가~~가측이 아닌 가측 함수 === ~~([[보렐 시그마 대수]]를 갖춘)~~ [[분해 가능 공간\|분해 불가능]] <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>X</math>~~가 주어졌다고 하자.~~ ~~그렇다면,~~위의 [[항등 함수]] :<math>~~\operatorname{id}_X~~f\colon x\mapsto x</math> 는를 생각하자. 이는 [[연속 함수]]이므로 보렐 가측 ~~함수이지만~~함수이다. 그러나 <math>f(X)=X</math>가 분해 가능하지 않으므로, 이는페티스 가측성 정리에 따라 <math>f</math>는 강한 가측 함수가 아니다.<ref name="Hytönen" />{{rp\|4, Example 1.1.5}} ~~{{증명}}~~ === 가측이 아닌 약한 가측 함수 === ~~만약 <math>\operatorname{id}_X</math>가 단순 함수의 열~~ 실수 집합을 <math>\mathbb R</math> 정의역으로 하고, 실수의 [[셈측도]] 공간 <math>(\mathbb R,\mathcal P(\mathbb R),\mu)</math> 위의 [[르베그 공간]] <math>\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)</math>를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자. ~~:<math>f_1,f_2,\dots\colon X\to X</math>~~ :<math>f\colon\mathbb R\to\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)</math> ~~의 점별 극한이라면,~~ :<math>~~A=f_1~~f(Xx)~~\cup f_2~~(Xt)~~\cup\cdots</math>~~= \begin{cases} ~~는 <math>X</math>의 한 [[가산]] [[조밀 집합]]이며, 따라서 <math>X</math>는 [[분해 가능 공간]]이다.~~ 1 & t=x \\ ~~{{증명 끝}}~~ 0 & t\ne x \end{cases} </math> 그렇다면, <math>f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\ell^2(\mathbb R;\mathbb K),\mathcal B(\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)))</math>는 약한 가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 구체적으로, 임의의 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여, :<math>\langle f,f(t)\rangle=f(t)\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))</math> 는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 <math>A\in\mathcal P(\mathbb R)\setminus\mathcal L(\mathbb R)</math>에 대하여, :<math>\bigcup_{x\in A}\operatorname{ball}_{\ell^2(\mathbb R,\mathcal P(\mathbb R),\mu;\mathbb K)}(1,f(x))\subset\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)</math> 는 [[열린집합]]이므로 [[가측 집합]]이며, 그 원상은 <math>A</math>이다. == 참고 문헌 ==

가측 함수: 두 판 사이의 차이