정규 부분군: 두 판 사이의 차이
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* <math>N</math>은 [[자명군]]이다.
* <math>N=G</math>이다.
* <math>G</math>는 [[유한군]]이며, <math>N</math>의 [[부분군의 지표|지표]] <math>|G|/|N|</math>는 <math>|G|</math>의 가장 작은 소인수이다.
* <math>G</math>는 [[유한군]]이며, <math>N</math>의 [[부분군의 지표|지표]] <math>|G|/|N|</math>는 2이다.
{{증명|부제=지표가 최소 소인수 ⇒ 정규 부분군}}
<math>N=\operatorname{Core}_G(N)</math>임을 보이는 것으로 족하다. <math>p</math>가 <math>|G|</math>의 최소 소인수라고 하자. <math>\operatorname{Core}_G(N)</math>은 [[군의 작용]]
:<math>G\to\operatorname{Sym}(G/N)</math>
:<math>g\mapsto(g'\mapsto gg'N)\qquad(g,g'\in G)</math>
의 [[핵 (수학)|핵]]이므로, [[몫군]]
:<math>G/\operatorname{Core}_G(N)</math>
은 [[대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(p)</math>의 [[부분군]]과 [[동형]]이며, 그 크기는 대칭군의 크기 <math>p!</math>의 약수이다. 즉, [[몫군]]
:<math>N/\operatorname{Core}_G(N)</math>
의 크기는 <math>(p-1)!</math>의 약수이다. 그러나 위 몫군의 크기는 <math>p</math> 미만의 소인수를 가질 수 없다. 따라서 크기는 1이다.
{{증명 끝}}
군 <math>G</math>의 정규 부분군 <math>N\vartriangleleft G</math>가 주어졌다면, [[몫군]] <math>G/N</math>에서 <math>N</math>의 [[외부자기동형군]] <math>\operatorname{Out}N</math>로 가는 자연스러운 [[군 준동형]]이 존재한다.
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