거리 함수: 두 판 사이의 차이

'''거리 함수'''(距離 函數, {{llang|en|Distancemetric, distance function}})는 [[집합]]의 각 점 원소 쌍 사이에 [[거리]]를 주는 [[함수]]이다. 거리가 있는 집합을 [[거리 공간]]이라고 부른다.<ref>{{서적 인용|성=Čech|이름=Eduard|제목=Point Sets|위치=New York|출판사=Academic Press|연도=1969년|쪽=42}}</ref> 계량이거리는 집합의 [[위상수학위상 공간 (수학)|위상]]을 유도하지만 모든 위상수학을위상을 계량으로거리로부터 생성할 수는 없다. 계량으로거리로부터 위상수학을위상을 설명할생성할 수 있는 공간을 [[거리화 가능 공간]]이라고 부른다.

[[거리화 가능 공간미분기하학]]에서 계량의거리를 정의하는 한 가지 중요한 원천은방법은 [[계량 텐서]]이다. 계량 텐서는 [[미분 가능 다양체]]의 접선두 벡터로부터[[접벡터]]를 스칼라로받아 정의할[[스칼라]]를 수 있는내놓는 [[쌍선형 형식]]인 계량 텐소르이다이다. 계량 텐소르는텐서는 통합을적분을 통해 곡선을곡선의 따라 거리를길이를 결정할 수 있으므로있도록 계량을해 주고, 따라서 거리를 결정한다.

여기서 <math>[0,\infty)</math>는 음수가음이 아닌 [[실수]]의 집합이며 모든 <math>x, y, z \in X</math>에 대해 다음 3가지 공리가 충족된다.

| 2. || <math>d(x, y) = d(y, x) </math> || [[대칭 함수|대칭성]]

또한이 이러한공리들은 공리는거리가 음수가 아닌 조건 또는아니라는 "분리 조건"을 암시한다함의한다. 따라서즉, 모든 <math>d(x, y) \gein 0X</math>는에 모두대해 <math>d(x, y) \inge X0</math>가 된다이다.

즉왜냐하면 1번, 3번, 2번 공리를 그러한 순서대로 적용하면 <math>0 = d(x, x) \le d(x, y) + d(y, x) = d(x, y) + d(x, y) = 2 d(x, y)</math>는이고, 따라서 <math>0 \le d(x, y)</math>를이기 의미한다때문이다.

음수가함수값이 아닌음이 수와아니라는 조건과 1번 공리는 "[[양의 정부호 함수]]"라고 불리는 것을 정의한다.

다른두 점들점 사이에 점이다른 절대점이 들어갈 수 없도록 다음과 같이 보다삼각 강력한부등식보다 버전으로강한 만든 "삼각 부등식"을조건을 만족하는 거리를 [[초거리 공간|초거리]]이라고라고 한다.

: 모든 <math>x, y, z \in X</math>에 대해 <math>d(x, y) \leq \max(d(x, z), d(y, z))</math>는 모두 <math>x, y, z \in X</math>가 된다.

{{수학 변수|X}}에서의 임의의 2개의두 점인점 {{수학 변수|x}}와 {{수학 변수|y}}가에 대해, 두 점을 이으면서 그 길이가 {{수학|1=''d''(''x'', ''y'')}}에 근접한임의로 곡선으로가까운 결합될곡선이 수존재하는 있는 경우에경우, {{수학 변수|Xd}}에 대한 공간를 {{수학 변수|dX}}를의 [[길이 거리 공간|길이 거리]]이라고라고 부른다.

군 ''G'' 군의의 거리(곱셈으로 표기함)는''d''가 다음과다음 같은조건을 경우에만족하면 "왼쪽 불변"(반대 개념은 "오른쪽 불변")이라고 표현한다한다. (곱셈 표기법 사용)

:<math>d(zx, zy) = d(x, y)</math> [resp.반대 개념은 <math>d(xz,yz)=d(x,y)</math>] (''G''의 모든 ''x'', ''y'', ''z''에 대해)

가환 덧셈군 <math>X</math>의 거리 <math>D</math>는 모든 <math>x, y, z \in X</math>에 대해 <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math>인 경우 또는 모든 <math>x, y \in X</math>에 대해 <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math>인 경우에 이동 불변이라고평행변환불변이라고 한다. 또한 모든 벡터 공간은 가환 덧셈군이며, 실벡터공간 또는 복소벡터공간에서 [[노름 공간|노름]]에 의해 유도되는 실제 또는 복잡한 벡터 공간에 대한 거리는 항상 이동 불변이다평행변환불변이다.

실제실벡터공간 또는 복잡한 벡터 공간에 대한복소벡터공간에서 거리 <math>D</math>는 이동 불변이고평행변환불변이고 "완전히 동질적절대동차"인 경우에만 노름으로 유도된다. 여기서 후자는절대동차라는 것은 모든 [[스칼라 (수학)|스칼라]] ''s''와 모든 <math>x, y \in X</math>에 대해 <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math>를임을 의미한다. 이 경우에 함수 <math>\| x \| := D(x, 0)</math>는 <math>X</math>에 대한 노름을 정의하고 <math>\| \cdot \|</math>에 의해 유도된 노름 거리는 <math>D</math>와 같다.

이러한 조건들은 [[거리]]의 개념에에 대한 직관적인 개념을이해를 표현한다반영한다. 예를 들어 구별되는 점 사이의 거리가거리는 양수이고, ''x''에서 ''y''까지의 거리는 ''y''에서 ''x''까지의 거리와 같다. 삼각 부등식은 ''x''에서 ''y''를 거쳐 ''z''까지의까지 가는 거리가 적어도 ''x''에서 ''z''까지의까지 거리보다직접 적어도가는 직접적으로거리만큼 크다는길다는 것을사실을 의미한다나타낸다. [[에우클레이데스]]는 《[[유클리드에우클레이데스의 기하학원론|원론]]》에서 2개의두 점 사이의 최단 거리는 선이며직선이라고 그것은했는데, 자신의이는 기하학에[[유클리드 기하학]]에 대한 삼각 부등식이라고 말했다부등식이다.

* [[이산 공간|이산 거리]]에서의 계량: ''x'' = ''y''인 경우 ''d''(''x'',''y'') = 0이고 그렇지 않으면 ''d''(''x'',''y'') = 1이 된다.

* [[유클리드 거리]]에서의는 계량은평행변환과 이동과회전변환에 회전대해 불변을 띠고 있다불변이다.

* [[맨해튼 거리]]에서의는 계량은평행변환에 이동대해 불변을 띠고 있다불변이다.

* 보다 일반적으로 [[노름 공간|노름]]에 의해에서 유도되는 모든 계량 기준은 이동 불변을 띠고거리는 있다평행변환불변이다.

* [[국소 볼록 공간]]인 <math>(p_n)_{n\in N}</math>이 ([[국소 볼록 공간]]인) [[위상 벡터 공간]] ''E''를 정의하는 [[반노름 공간의]]의 [[수열|열]]인 경우이라면

*:<math>d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}</math>라고 표현한다.

*:는 동일한 [[위상수학위상 공간 (수학)|위상]]을 정의하는 거리이다. 이는 [[절대 수렴]] <math>(a_n)</math>을 통해여기서 <math>\frac{1}{2^n}</math>을는 [[양수합이 수렴하는 임의의 양항급수 <math>(수학a_n)|양수]]</math>로 요약할바꿔도 수 있다된다.)

* [[노름 공간]] <math>(\R, | \cdot |)</math>은 절댓값이[[바나흐 공간]]이고, 이때 절댓값은 <math>\R</math>에서의 일반적인 유클리드 위상수학을위상을 유도하는 실제 선실직선 <math>\R</math>의 노름인노름 [[바나흐역할을 공간]]이다한다. <math>\R</math>위의 거리 <math>D : \R \times \R \to \R</math> 위의 <math>\R</math>는를 모든 <math>x, y \in \R</math>에 대해 <math>D(x, y) = | \arctan(x) - \arctan(y)|</math>이다로 정의하자. {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>{{Hair space}}}}의 유도 거리와 마찬가지로, 거리 <math>D</math>도 {{수학|1=ℝ}}에서 일반적인 유클리드 토폴로지를위상을 유도한다. 그러나 <math>x_i := i</math>로 정의된 수열 <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> 수열에 의해 정의된 <math>x_i := i</math>는 [[코시 열|{{개행 금지|<math>D</math>-코시}} 열]]이지만 {{수학|1=ℝ}}의 어떠한 점에도점으로도 수렴되지수렴하지 않기 때문에 <math>D</math>는 완전한[[완비 거리가거리 공간|완비 거리]]가 아니다. 수렴되지 않음의 결과에 따라이 {{개행 금지|<math>D</math>-코시}} 열은 수렴하지 않으므로 <math>(\R, | \cdot |)</math>에 대한 코시 열이 될 수 없다. 즉, 노름 공간에{{개행 금지|<math>| \cdot |}}에 관한 카우치코시 시퀀스가열이 아니다. 그렇다면왜냐하면 <math>(\R, | \cdot |)</math>이 바나흐 공간이라는 사실 때문에, 이 수열이 {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>-코시 열}}이이라면 바나흐수렴해야 공간이라는 사실은 그것이 수렴된다는하고, 모순임을이는 암시할모순이기 것이다때문이다.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}

* [[거리 (그래프 계량은 특정한 그래프의이론)|그래프 거리]]는 단위로특정한 그래프 정의된위의 계량이다거리이다.

* [[해밍 계량은거리]]는 코딩부호 이론에서 활용된다.

* [[리만 다양체거리]]: [[매끄러운 다양체]]에 활용하기에 적합한 거리 함수의 유형이다함수이다. 이러한 [[다양체]]의에 경우에는대하여, 각 점에서점 p에서의 접공간 T_p에서 p에양의 대한정부호 대칭, 양의 정부호, 쌍선형 형식 L: T_p × T_p → ℝ를 선택하여매끄러운 방식으로 매끄럽게선택할 한다수 있다. 이러한 형식은 다양체에서 접선 벡터 '''v'''의 길이를 <math display="inline">\|v\| = \sqrt{L(\mathbf{v}, \mathbf{v})}</math>을 통해 다양체에서 접선 벡터 '''v'''의 길이를로 결정한다. 그런 다음에 다양체의 모든 미분 가능한 경로에 대해, 그 길이는길이를 경로 매개 변수에 대해 통합이 수행되는 임의의각 점에서 경로에 대한 접선 벡터의 길이의 적분으로 정의된다정의하는데, 이때 적분은 경로 매개변수에 대해서 한다. 마지막으로 다양체의 점들두 중에서점 어떠한 쌍 {x, y}에 정의된사이의 거리를 얻기x와 위해y를 잇는 모든 경로에서경로의 경로 길이길이의 집합의하한으로 최소인 x에서 y까지를 취한다정의한다. 리만 기하학이거리가 장착된주어진 매끄러운 다양체는다양체를 [[리만 다양체라고다양체]]라고 부른다.

* [[푸비니-슈투디 계량]]은 [[복소수]] [[사영 공간]]에 활용되는데 리만 다양체거리의 가운데한 하나이기도 하다예이다.

* [[레벤시테인 계량은거리]]는 그 외의밖의 문자열 편집 계량과거리와 마찬가지로 문자열에 대한 거리를 정의한다.

* 바세르시테인 계량: 2가지두 [[확률 분포]] 사이에서 정의된사이의 거리 함수이다.

* [[핀슬러 다양체|핀슬러 거리]]: 음이 아닌 연속 함수를는 [[접다발]]로 정의한위에 정의된 음이 아닌 연속함수 F:TM→[0,+∞)이다.