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는 [[가역 행렬]]이며, 행렬 <math>AQ</math>의 첫 행 첫 열 성분은 <math>A'_{11}</math>이다. 또한 <math>A_{11}\nmid A_{12}</math>이므로 <math>A'_{11}</math>은
:<math>l(A'_{11})<l(A_{11})</math>
을 만족시킨다. (<math>A_{11}\nmid A_{21}</math>인 경우에도 [[가역 행렬]]의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 [[가역원]]에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에서 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면 <math>A</math>는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다.
:<math>
\begin{pmatrix}
| |||