스미스 표준형

선형대수학에서, 스미스 표준형(영어: Smith canonical form)은 주 아이디얼 정역 위에 주어진 임의의 모양의 행렬동치인 매우 단순한 꼴의 대각 행렬이다. 스미스 표준형의 존재는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 자유 가군부분 가군의 적절한 기저 사이의 선형 관계는 아주 간단할 수 있다는 사실과 동치이다.

정의

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주 아이디얼 정역   (예를 들어, 정수환   또는 계수 일변수 다항식환  ) 위의 임의의   행렬  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬    및 유한 개의 원소  가 존재한다.

 
 
 

(여기서    영행렬이다.) 또한  가역원배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를  스미스 표준형이라고 한다.

알고리즘

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행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다.  유일 인수 분해 정역이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의  에 대하여,   의 소인수의 중복집합의 크기라고 하자.

우선   위의   행렬

 

을 생각하자.  베주 정역이므로,   최대공약수  에 대하여,   가 존재한다.  ,  라고 하자. 그렇다면  이다. 따라서

 

가역 행렬이며,

 

이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이   최대공약수이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다.

이제 일반적인   행렬  를 생각하자. 만약  이라면,  는 이미 스스로의 스미스 표준형이다.  이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상  이라고 가정하자. (보통 과정을 간단하게 만들기 위해  가 가장 작도록 행·열을 교환한다.) 만약 모든  에 대하여  라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의  을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약   이 존재한다면, 행과 열의 교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해  이거나  라고 가정할 수 있다. (예를 들어, 만약  이지만  라면, 첫 행의 적절한 배수를 둘째 행에서 빼 둘째 행 첫 열의 성분을 0으로 만들고, 마찬가지로 첫 행 둘째 열의 성분을 0으로 만든 뒤, 다시 둘째 행을 첫 행에 더하면,  은 변하지 않으며,  이 바로 오른쪽 성분을 나누지 못하게 된다.) 편의상  라고 하자. 그렇다면

 
 

인 가역 행렬  이 존재한다. 따라서

 

가역 행렬이며, 행렬  의 첫 행 첫 열 성분은  이다. 또한  이므로  

 

을 만족시킨다. ( 인 경우에도 가역 행렬의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 가역원에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면  는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다.

 
 

다시  에 대하여 같은 과정을 반복하면  와 동치인 다음과 같은 꼴의 행렬을 얻는다.

 
 

여기서  인 이유는   의 성분의 선형 결합이기 때문이다.

위와 같은 과정을 반복하면 결국 스미스 표준형을 얻는다.

유리수 계수 다항식환   위의 행렬

 

의 스미스 표준형은 다음과 같이 구할 수 있다.

 

응용

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주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 구조

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스미스 표준형을 통해 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군불변 인자 분해를 유도할 수 있다.

역사

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헨리 존 스티븐 스미스의 이름을 땄다.

같이 보기

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외부 링크

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