포흐하머 기호

조합론에서 포흐하머 기호(영어: Pochhammer symbol)는 연속의 정수들의 곱을 나타내는 기호 $(x)_{n}$ 또는 $x^{(n)}$이다.

정의

포흐하머 기호의 표현에는 두 종류가 있다. 하나는 하강 계승(영어: falling factorial)

$x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}$

이고, 다른 하나는 상승 계승(영어: rising factorial)

$x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}$

이다. 정의에 따라 $(x)_{0}=x^{(0)}=1$이다.

포흐하머 기호의 표기는 분야 및 저자에 따라 다를 수 있으므로 주의하여야 한다. 수학 분야에 따라서, 다음과 같은 다른 표기가 존재한다.

	하강	상승
도널드 커누스	$x^{\underline {n}}$	$x^{\overline {n}}$
조합론	$(x)_{n}$	$x^{(n)}$
초기하함수 이론	(없음)	$(x)_{n}$

밑줄 · 윗줄을 쓰는 표기는 도널드 커누스가 도입하였다.

성질

하강 포흐하머 기호

$p_{n}(x)=x^{\underline {n}}$

및 상승 포흐하머 기호

$q_{n}(x)=x^{\overline {n}}$

는 각각 이항형 다항식열을 이룬다. 하강 포흐하머 기호의 경우

$(x+1)^{\underline {n}}-x^{\underline {n}}=\left((x+1)-(x-n+1)\right)x^{\underline {n-1}}nx^{\underline {n-1}}$

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분

$\Delta _{+}f=\left(\exp \left({\frac {d}{dx}}\right)-1\right)f=f(x+1)-f(x)$

이다. 마찬가지로, 상승 포흐하머 기호의 경우

$x^{\overline {n}}-(x-1)^{\overline {n}}=\left((x+n-1)-(x-1)\right)x^{\overline {n-1}}=nx^{\overline {n-1}}$

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 후방 유한 차분

$\Delta _{-}f=\left(1-\exp \left(-{\frac {d}{dx}}\right)\right)f=f(x+1)-f(x)$

이다.

역사

프로이센의 수학자 레오 아우구스트 포흐하머의 이름을 땄다. 그러나 포흐하머 자신은 오히려 $(x)_{n}$을 이항계수 $\textstyle {\binom {x}{n}}$을 나타내는 데 사용하였다.

같이 보기

• 큐-포흐하머 기호
• 팩토리얼(계승)
• 제1종 스털링 수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pochhammer Symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Rising factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Falling factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.