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조합론에서, 음계산법(陰計算法, 영어: umbral calculus)은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.

정의편집

표수가 0인 체  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환    위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 다항식열(영어: polynomial sequence)은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 이다.

 
 
 

음합성편집

다항식

 

와 다항식열

 

음합성(영어: umbral composition)은 다음과 같은 다항식열이다.

 

마찬가지로, 두 다항식열  음합성은 다음과 같다.

 

이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.

 

셰퍼 다항식열편집

다항식열  가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은  -선형 작용소를 정의할 수 있다.

 
 

이를 다항식열  델타 연산자(영어: delta operator)라고 한다.

또한, 임의의  에 대하여, 다음과 같은  -선형 작용소를 정의할 수 있다.

 
 

만약  가 모든  와 가환한다면,  셰퍼 다항식열(영어: Sheffer sequence)이라고 한다.

 

두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 을 이룬다.

셰퍼 다항식열  의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다.

 
 

따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.

아펠 다항식열편집

셰퍼 다항식열  에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면,  아펠 다항식열(영어: Appell sequence)이라고 한다.

두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다.

모든 아펠 다항식열  은 어떤 수열  에 대하여

 

의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면

 

이 된다.

아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다.

  • 베르누이 다항식  . 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.
  • (확률론의) 에르미트 다항식  . 이에 대응하는 수열은  ,  이다.
  • 오일러 다항식
  •  . 이에 대응하는 수열은  이다 ( 크로네커 델타).

이항형 다항식열편집

셰퍼 다항식열  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 이항형 다항식열(영어: sequence of binomial type)이라고 한다.

  •  이며  이다.
  • 다음 항등식이 성립한다.
     

이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군  은 아펠 다항식열의 군  과 이항형 다항식열의 군  반직접곱이다.

 

이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.

이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다.

  •  . 이에 대응하는 델타 작용소는 미분  이다.
  • 하강 포흐하머 기호  . 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분  이다.
  • 상승 포흐하머 기호  
  • 아벨 다항식  
  • 투샤르 다항식  . 여기서  제2종 스털링 수이다.

아펠 다항식의 음계산법편집

아펠 다항식열

 

이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수  에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다.

 
 

이 경우,  음변수(영어: umbral variable)라고 한다.  을 가하면,  의 윗첨자(거듭제곱)가  의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다.

그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다.

 
 

따라서,  를 포함하는 표현을  로 나타낸 뒤, 음변수  의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 음계산법이라고 한다.

예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다.

 

이항형 다항식의 음계산법편집

델타 연산자  에 대응하는 이항형 다항식  이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.

 
 

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 
 
 

따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이  를 포함하는 표현을  로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다.

특히, 임의의  에 대하여,  이므로

 

인 다항식

 
 

가 존재한다. 이 경우,

 

이다. 따라서,

 

가 된다. 이를 음 테일러 급수(영어: umbral Taylor series)라고 한다.

특히,  하강 포흐하머 기호

 

일 경우,

 

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분

 

이다. 따라서

 

이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다.

보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.

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베르누이 공식편집

베르누이 다항식  은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소

 
 

를 정의하자. (여기서   베르누이 수이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다.

 

역관계편집

두 수열  ,  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 

이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.[1]:185–186 우선

 
 

라고 하자. 그렇다면, 만약

 

라면,

 

로 정의할 수 있다. 그렇다면

 

임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)

역사편집

음계산법은 1861년에 존 블리사드(영어: John Blissard)가 도입하였다.[2] 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다.

이후 음계산법은 에두아르 뤼카제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨(영어: Eric Temple Bell)은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.[3]

1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.[4]

아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(프랑스어: Paul Émile Appell, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(영어: Isador Mitchell Sheffer, 1901~1992)가 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine H. (2009). 《Combinatorics: The Rota Way》. Cambridge Mathematical Library (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88389-4. doi:10.1017/CBO9780511803895. 
  2. Blissard, John (1861). “Theory of generic equations”. 《The quarterly journal of pure and applied mathematics》 (영어) 4: 279–305. 
  3. Bell, E. T. (1938). “The history of Blissard’s symbolic method, with a sketch of its inventor’s life”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 45 (7): 414–421. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304144. 
  4. Roman, Steven M.; Rota, Gian-Carlo (1978). “The umbral calculus”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 27 (2): 95–188. ISSN 0001-8708. MR 0485417. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7.  1부, 2부, 3부, 4부

외부 링크편집