하이네-보렐 정리
일반위상수학에서 하이네-보렐 정리(영어: Heine-Borel theorem)는 균등 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.
정의 편집
하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]
특히, 가 유클리드 공간의 부분 집합이라고 하자. 그렇다면, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
마찬가지로, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.
예 편집
위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합 은 유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.
역사 편집
참고 문헌 편집
- Andre, Nicole R.; Engdahl, Susannah M.; Parker, Adam E. (2013년 8월). “An analysis of the first proofs of the Heine–Borel theorem”. 《Convergence》 (영어). doi:10.4169/loci003890.
- Dugac, P. (1989). “Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue”. 《Archives Internationales d’Histoire des Sciences》 (프랑스어) 39 (122): 69-110. ISSN 0003-9810.
- Raman-Sundström, Manya (2014). “A pedagogical history of compactness” (영어). arXiv:1006.4131. Bibcode:2010arXiv1006.4131R.