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일반위상수학에서, 하이네-보렐 정리(영어: Heine-Borel theorem)는 균등 공간콤팩트 공간필요충분조건을 제시하는 정리이다.

목차

정의편집

하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]

특히,  유클리드 공간부분 집합이라고 하자. 그렇다면,  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

마찬가지로,  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

따라서,  의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.

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  위의 이산 거리 공간을 생각하자. 그 속의 부분 집합  유계 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만 완전 유계 공간이 아니며, 따라서 콤팩트 집합이 아니다.

역사편집

에두아르트 하이네에밀 보렐의 이름을 땄다.

참고 문헌편집

  1. Frank, D. L. (1965). “A totally bounded, complete uniform space is compact”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 514–514. ISSN 0002-9939. MR 0175088. doi:10.1090/S0002-9939-1965-0175088-5.