완전 유계 공간

해석학에서, 완전 유계 공간(完全有界空間, 영어: totally bounded space) 또는 프리콤팩트 공간(영어: precompact space)은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.

정의편집

균등 공간  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간완전 유계 공간이라고 한다.

  • 임의의 측근  에 대하여,  인 유한  -덮개  ,  가 존재한다.
  •  완비화콤팩트 공간이다.
  •   위의 모든 필터코시 부분 필터를 갖는다.
  •   위의 모든 극대 필터코시 필터이다.[1]

(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

성질편집

완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 완전 유계 공간이다.
  •  완비화  는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]

완전 유계 거리 공간편집

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:275

  • 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수  에 대하여, 반지름이  열린 공들로 구성된 유한  -덮개가 존재한다.
  •  의 모든 점렬코시 부분 점렬을 갖는다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 거리 공간유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

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유클리드 공간부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

완전 유계 공간이 아닌 유계 공간편집

임의의 바나흐 공간의 단위 초구유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

참고 문헌편집

  1. Newns, W. F. (1954). “Sur les espaces uniformes précompacts”. 《Portugaliae mathematica》 (프랑스어) 13 (1): 33–34. MR 0066626. Zbl 0057.38902. 2016년 8월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함. 
  2. Frank, D. L. (1965). “A totally bounded, complete uniform space is compact”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 514–514. doi:10.1090/S0002-9939-1965-0175088-5. ISSN 0002-9939. MR 0175088. 
  3. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

외부 링크편집