한-바나흐 정리

함수해석학에서 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, 영어: Hahn–Banach theorem)는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다.

정의

실수 벡터 공간 $V$ 위의 열선형 함수(劣線型函數, 영어: sublinear function)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f\colon V\to \mathbb {R}$이다.

• (동차성) 임의의 $\gamma \in \mathbb {R} ^{+}$와 $v\in V$에 대하여, $f(\gamma v)=\gamma f(v)$
• (준가법성) 임의의 $u,v\in V$에 대하여, $f(u+v)\leq f(u)+f(v)$

예를 들어, $V$의 모든 반노름이나 노름은 열선형 함수이다.

실수 벡터 공간 $V$의 부분 벡터 공간 $U\subset V$ 위에 정의된 선형함수 $\phi \colon U\to \mathbb {R}$가 열선형 함수 $f\colon V\to \mathbb {R}$에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,

$\phi (u)\leq f(u)\qquad \forall u\in U$

라고 하자. 그렇다면, 한-바나흐 정리에 따라, $\phi$를 같은 열선형 함수에 지배당하는, $V$ 전체에 정의된 선형함수 ${\tilde {\phi }}$로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수 ${\tilde {\phi }}\colon V\to \mathbb {R}$가 존재한다.

• $\phi (u)={\tilde {\phi }}(u)\qquad \forall u\in U$
• ${\tilde {\phi }}(v)\leq f(v)\qquad \forall v\in V$

다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

역사

1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 오스트리아의 수학자 한스 한(Hans Hahn)과 폴란드의 수학자 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, 1912년에 오스트리아의 에두아르트 헬리가 정리의 특수한 경우를 증명하였고, 헝가리 수학자 리스 머르첼이 1923년 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.

참고 문헌

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5
• Narici, Lawrence; Edward Beckenstein (1997년 6월 3일). “The Hahn–Banach theorem: the life and times”. 《Topology and its Applications》 (영어) 77 (2): 193–211. doi:10.1016/S0166-8641(96)00142-3. Zbl 0919.46005. 2011년 6월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 9월 11일에 확인함. 

외부 링크

• “Hahn-Banach theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hahn-Banach theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 리스 확장정리
• 초평면 분리정리