확장된 실수의 집합 는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.
-
이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.
-
-
이에 따라, 에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.
또한, 는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 에 대하여,
-
가 된다. 이에 따라서 는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.
산술 연산편집
확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다.
-
- (덧셈의 역원)
- ( 로 정의할 때, 곱셈의 역원)
그러나 는 정의할 수 없다.
다음과 같은 연산들 역시 정의할 수 없다. 이를 부정형이라 한다.
-
-
-
다만 확률이나 측도론의 맥락에서, 종종 으로 정의하여 확장한다.
확장된 실수는 에 대하여 를 또는 으로 정의하지 않는다.
- 만약 이 참이라면, 연속함수 일 때 는 반드시 집합 의 모든 근방에 포함되어야 한다.
- 그러나 는 또는 중 하나로 정해지지 않으므로 는 참이 아니다.
- 예를 들어, 일 때, 이지만 는 존재하지 않는다.
- 이는 이지만 이기 때문이다(절댓값 는 으로 정해진다).
덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, 는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.
- 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약 으로 정의한다면, 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 와 는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약 으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 는 가환 반환을 이룬다.
지수 함수편집
다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.
-
-
-
이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
-
마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수
-
를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
-
기타 함수편집
만약 어떤 실함수 가
-
인 경우,
-
로 정의한다.