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수학에서, 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

정의편집

확장된 실수의 집합  는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

 

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.

 
 

이에 따라,  에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

또한,  는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든  에 대하여,

 

가 된다. 이에 따라서  완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한하한을 갖는다.

산술 연산편집

확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다.

 
(덧셈의 역원)  
( 로 정의할 때, 곱셈의 역원)  

그러나  는 정의할 수 없다.

다음과 같은 연산들 역시 정의할 수 없다. 이를 부정형이라 한다.

 
 
 

다만 확률이나 측도론의 맥락에서, 종종  으로 정의하여 확장한다.

확장된 실수는  에 대하여    또는  으로 정의하지 않는다.

만약  이 참이라면, 연속함수  일 때  는 반드시 집합  의 모든 근방에 포함되어야 한다.
그러나   또는   중 하나로 정해지지 않으므로  는 참이 아니다.
예를 들어,  일 때,  이지만  는 존재하지 않는다.
이는  이지만  이기 때문이다(절댓값   으로 정해진다).

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에,  이나 , 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.

  •  는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
    • 만약  으로 정의한다면,  는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
  •   는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
  • 만약  으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수  는 가환 반환을 이룬다.

지수 함수편집

다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

 
 
 

이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

 

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수

 

를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

 

기타 함수편집

만약 어떤 실함수  

 

인 경우,

 

로 정의한다.

외부 링크편집