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수학등각 장론에서, W-대수(W-代數, 영어: W-algebra)는 2차원 등각 장론의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다.[1]:106–111[2][3] 비라소로 대수를 일반화한다.

정의편집

스핀 2편집

스핀 2의 W-대수  비라소로 대수라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장  에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

 

여기서  는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다.

스핀 3편집

스핀 3의 W-대수  알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견하였다.[4] 이는 스핀 2의 정칙 1차장  (에너지-운동량 텐서)과 스핀 3의 정칙 1차장  를 가지며, 이들 사이의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

 
 
 

여기서  는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.

 

여기서  표준 순서를 나타낸다.

 에 대해서도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.[1]:109

 
 

특히,  인 경우( )는 임계 3상태 포츠 모형으로, 이는  인 비라소로 최소 모형과 같다.

일반적인 스핀편집

일반적으로, 모든  에 대하여, 스핀-N W-대수  이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다.

W-대수  은 총  개의 정칙 연산자들  을 포함한다. 이들의 스핀은 각각  이며,   는 1차 연산자이지만  는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다.

 
 
 

여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나    등을 생략하였다.

무한 스핀 W-대수편집

유한한  에 대한   말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는  와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는  가 존재한다.[2]

참고 문헌편집

  1. Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. 
  2. Pope, C.N. (1991). “Lectures on W algebras and W gravity” (영어). Bibcode:1991hep.th...12076P. arXiv:hep-th/9112076. 
  3. Bouwknegt, Peter; Kareljan Schoutens (1993). “W symmetry in conformal field theory”. 《Physics Reports》 (영어) 223 (4): 183–276. Bibcode:1993PhR...223..183B. ISSN 0370-1573. MR 1208246. arXiv:hep-th/9210010. doi:10.1016/0370-1573(93)90111-P. 
  4. Zamolodchikov, A. B. (1985). “Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля” (PDF). 《Теоретическая и математическая физика》 (러시아어) 65 (3): 347–359. ISSN 0564-6162. MR 829902. doi:10.1007/BF01036128. 
  • Bouwknegt, Peter; Kareljan Schoutens (1995). 《W-symmetry》. Advanced Series in Mathematical Physics (영어) 22. World Scientific. ISBN 9789810217624. MR 1338864. 
  • Dickey, L. A. (1997). “Lectures on classical W-algebras”. 《Acta Applicandae Mathematicae》 (영어) 47 (3): 243–321. ISSN 0167-8019. doi:10.1023/A:1017903416906.