이론물리학 에서 최소 모형 (最小模型, 영어 : minimal model )은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론 (rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.
유니터리 최소 모형은 하나의 정수
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle k=0,1,2,\dots }
으로 정의된다. 이는
s
u
^
(
2
)
k
×
s
u
^
(
2
)
1
s
u
^
(
2
)
k
+
1
{\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{1}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+1}}}}
잉여류로 정의되며,[1] :104
c
=
3
k
k
+
2
+
1
−
3
(
k
+
1
)
k
+
3
=
1
−
6
(
k
+
2
)
(
k
+
3
)
{\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+1-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}}
이 된다.
최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.
h
=
h
r
,
s
(
c
)
=
(
(
k
+
3
)
r
−
(
k
+
2
)
s
)
2
−
1
4
(
k
+
2
)
(
k
+
3
)
{\displaystyle h=h_{r,s}(c)={\frac {((k+3)r-(k+2)s)^{2}-1}{4(k+2)(k+3)}}}
여기서
r
=
1
,
2
,
3
,
…
,
k
+
1
{\displaystyle r=1,2,3,\dots ,k+1}
s
=
1
,
2
,
3
,
…
r
{\displaystyle s=1,2,3,\dots r}
이다.
최소 모형은 여러 격자 모형 의 임계 현상 을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공
h
=
0
{\displaystyle h=0}
k 중심 전하 c
1차장 무게 h
설명
1
1/2
1/16, 1/2
임계 이징 모형 . 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다.
2
7/10
3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2
삼중 임계(tricritical) 이징 모형
3
4/5
1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3
임계 3상태 포츠 모형
4
6/7
1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5
삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
s
u
^
(
2
)
k
×
s
u
^
(
2
)
2
s
u
^
(
2
)
k
+
2
(
k
=
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+2}}}\qquad (k=1,2,3,\dots )}
에 의하여 정의된다.[1] :175
s
u
^
(
2
)
k
{\displaystyle {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}}
c
=
3
k
/
(
k
+
2
)
{\displaystyle c=3k/(k+2)}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
[1] :106 [1] :174–175
c
=
3
k
k
+
2
+
3
2
−
3
(
k
+
2
)
(
k
+
4
)
=
3
2
(
1
−
8
(
k
+
2
)
(
k
+
4
)
)
{\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3}{2}}-{\frac {3(k+2)}{(k+4)}}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {8}{(k+2)(k+4)}}\right)}
이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.[2] [3]
h
r
,
s
=
(
(
k
+
4
)
r
−
(
k
+
2
)
s
)
2
−
4
8
(
k
+
2
)
(
k
+
4
)
+
1
32
(
1
−
(
−
1
)
r
−
s
)
{\displaystyle h_{r,s}={\frac {((k+4)r-(k+2)s)^{2}-4}{8(k+2)(k+4)}}+{\frac {1}{32}}(1-(-1)^{r-s})}
여기서
r
=
1
,
2
,
…
,
k
+
1
{\displaystyle r=1,2,\dots ,k+1}
s
{\displaystyle s}
느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는
r
−
s
{\displaystyle r-s}
1
≤
s
≤
r
{\displaystyle 1\leq s\leq r}
라몽(R) 경계 조건에서는
r
−
s
{\displaystyle r-s}
1
≤
s
≤
{
r
−
1
r
≤
(
k
+
1
)
/
2
r
+
1
r
>
(
k
+
1
)
/
2
{\displaystyle 1\leq s\leq {\begin{cases}r-1&r\leq (k+1)/2\\r+1&r>(k+1)/2\end{cases}}}
이에 따라, 진공을 포함해 총
⌊
(
k
+
2
)
2
/
2
⌋
{\displaystyle \lfloor (k+2)^{2}/2\rfloor }
k
{\displaystyle k}
바닥 상태 (
h
=
c
/
24
{\displaystyle h=c/24}
처음 몇 개의
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
h
=
0
{\displaystyle h=0}
G
−
1
/
2
{\displaystyle G_{-1/2}}
k 중심 전하 c
NS 1차장
R 1차장
설명
1
7/10
1/10
7/16, 3/80
삼중 임계 이징 모형 (
k
=
2
{\displaystyle k=2}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
[1] :175 [2]
2
1
1/16, 1/6, 1
3/8, 1/24, 9/16, 1/16
반지름이
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
시그마 모형 .
k
=
1
{\displaystyle k=1}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
[4] [5]
3
81/70
3/70, 9/10, 3/70, 8/7, 3/14
27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112
4
5/4
1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 3
5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
[1] :178–179
c
=
3
k
k
+
2
(
k
=
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}\qquad (k=1,2,3,\dots )}
이들은
s
u
^
(
2
)
k
×
u
^
(
1
)
2
u
^
(
1
)
k
+
2
{\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{k+2}}}}
잉여류로 정의할 수 있다.[1] :188
s
u
^
(
2
)
k
{\displaystyle {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}}
c
=
3
k
/
(
k
+
2
)
{\displaystyle c=3k/(k+2)}
u
^
(
1
)
k
{\displaystyle {\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{k}}
c
=
1
{\displaystyle c=1}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
(
l
,
k
,
s
)
{\displaystyle (l,k,s)}
[6]
l
=
0
,
1
,
2
,
…
,
k
{\displaystyle l=0,1,2,\dots ,k}
m
∈
Z
/
(
2
k
+
4
)
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} /(2k+4)}
s
∈
Z
/
4
{\displaystyle s\in \mathbb {Z} /4}
l
+
m
+
s
≡
0
(
mod
2
)
{\displaystyle l+m+s\equiv 0{\pmod {2}}}
이며,
(
l
,
m
,
s
)
∼
(
k
−
l
,
m
+
k
+
2
,
s
+
2
)
{\displaystyle (l,m,s)\sim (k-l,m+k+2,s+2)}
이면 같은 등각장을 나타낸다.
s
{\displaystyle s}
|
m
−
s
|
≤
l
{\displaystyle |m-s|\leq l}
이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하
q
{\displaystyle q}
h
{\displaystyle h}
q
=
−
m
k
+
2
+
s
2
{\displaystyle q=-{\frac {m}{k+2}}+{\frac {s}{2}}}
h
=
l
(
l
+
2
)
−
m
2
4
(
k
+
2
)
+
s
2
8
{\displaystyle h={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {s^{2}}{8}}}
스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.
(
l
,
m
,
s
)
↦
(
l
,
m
−
2
η
,
s
−
2
η
)
{\displaystyle (l,m,s)\mapsto (l,m-2\eta ,s-2\eta )}
이에 따라
h
l
,
m
,
s
↦
h
l
,
m
,
s
−
η
q
+
η
2
c
/
6
{\displaystyle h_{l,m,s}\mapsto h_{l,m,s}-\eta q+\eta ^{2}c/6}
q
l
,
m
,
s
↦
q
l
,
m
,
s
−
c
η
/
3
{\displaystyle q_{l,m,s}\mapsto q_{l,m,s}-c\eta /3}
이 된다.
NS 경계 조건의 초1차장들은
0
≤
l
≤
k
{\displaystyle 0\leq l\leq k}
−
l
≤
m
≤
l
{\displaystyle -l\leq m\leq l}
s
=
0
{\displaystyle s=0}
에 대응하며, 총
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
/
2
{\displaystyle (k+1)(k+2)/2}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
영어 : chiral field ,
h
=
q
/
2
{\displaystyle h=q/2}
l
=
−
m
{\displaystyle l=-m}
s
=
0
{\displaystyle s=0}
영어 : antichiral field ,
h
=
−
q
/
2
{\displaystyle h=-q/2}
l
=
m
{\displaystyle l=m}
s
=
0
{\displaystyle s=0}
k
{\displaystyle k}
h
=
c
/
24
{\displaystyle h=c/24}
(
m
,
s
)
=
(
±
(
l
+
1
)
,
±
1
)
{\displaystyle (m,s)=(\pm (l+1),\pm 1)}
q
=
±
(
k
−
l
)
/
2
(
k
+
2
)
{\displaystyle q=\pm (k-l)/2(k+2)}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
손지기장들의 경우,
G
−
1
/
2
+
{\displaystyle G_{-1/2}^{+}}
코호몰로지 를 취하여 환 으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환 의 몫환
H
∙
(
H
k
,
G
−
1
/
2
+
)
≅
C
[
x
]
/
(
x
k
+
1
)
{\displaystyle H^{\bullet }({\mathcal {H}}_{k},G_{-1/2}^{+})\cong \mathbb {C} [x]/(x^{k+1})}
이다. 여기서
x
l
{\displaystyle x^{l}}
(
l
,
m
,
s
)
=
(
l
,
−
l
,
0
)
{\displaystyle (l,m,s)=(l,-l,0)}
R 경계 조건의 초1차장들은
0
≤
l
≤
k
{\displaystyle 0\leq l\leq k}
m
∈
[
−
l
+
1
,
l
−
1
]
∪
{
l
+
1
}
{\displaystyle m\in [-l+1,l-1]\cup \{l+1\}}
s
=
1
{\displaystyle s=1}
에 대응하며, 이 가운데
m
=
l
+
1
{\displaystyle m=l+1}
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
/
2
{\displaystyle (k+1)(k+2)/2}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
k
(
k
+
1
)
/
2
{\displaystyle k(k+1)/2}
처음 몇 개의
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
G
−
1
/
2
±
{\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }}
G
−
1
/
2
+
G
1
/
2
−
{\displaystyle G_{-1/2}^{+}G_{1/2}^{-}}
k 중심 전하 c
진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 q
기타 NS 장
(
h
,
q
)
{\displaystyle (h,q)}
R 바닥 상태 q
기타 R 장
(
h
,
q
)
{\displaystyle (h,q)}
설명
1
1
±⅓
(없음)
±⅙
(⅜,±½)
반지름이
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
시그마 모형 .
k
=
2
{\displaystyle k=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
[4] [5]
2
3/2
±¼, ±½
(½,0)
0, ±¼
(5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾)
3
9/5
±⅕, ±⅖, ±⅗
(⅖,0), (7/10,±⅕)
±1/10, ±3/10
(11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2)
4
2
±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔
(⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔)
0, ±⅙, ±⅓
(생략)
c
=
1
/
2
{\displaystyle c=1/2}
[7] 이징 모형 의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.
(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형 은
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
상 을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상 을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이 가 존재하며, 이 임계 온도 에서 이징 모형은
c
=
1
/
2
{\displaystyle c=1/2}
2차원 이징 모형에서, 각 스핀이
σ
i
,
j
=
±
1
{\displaystyle \sigma _{i,j}=\pm 1}
⟨
σ
⟩
{\displaystyle \langle \sigma \rangle }
2점 함수 는
⟨
σ
α
σ
β
⟩
∼
d
(
α
,
β
)
−
η
{\displaystyle \langle \sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{-\eta }}
의 꼴을 갖는다. 여기서
d
(
α
,
β
)
{\displaystyle d(\alpha ,\beta )}
ϵ
α
=
∑
(
α
,
β
)
σ
α
σ
β
{\displaystyle \epsilon _{\alpha }=\sum _{(\alpha ,\beta )}\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }}
를 생각하자. 여기서
∑
(
α
,
β
)
{\displaystyle \sum _{(\alpha ,\beta )}}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
⟨
ϵ
α
ϵ
β
⟩
∼
d
(
α
,
β
)
2
/
ν
−
2
{\displaystyle \langle \epsilon _{\alpha }\epsilon _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{2/\nu -2}}
를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수
α
{\displaystyle \alpha }
ν
{\displaystyle \nu }
c
=
1
/
2
{\displaystyle c=1/2}
(
h
,
h
¯
)
=
(
1
/
2
,
1
/
2
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,1/2)}
(
h
,
h
¯
)
=
(
1
/
16
,
1
/
16
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/16,1/16)}
2차원 마요라나-바일 스피너장
ψ
(
z
,
z
¯
)
{\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})}
반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식 에 따라서
ψ
(
z
,
z
¯
)
=
ψ
(
z
)
+
ψ
¯
(
z
¯
)
{\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})}
와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우,
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
(
h
,
h
¯
)
=
(
1
/
2
,
0
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,0)}
ψ
¯
(
z
¯
)
{\displaystyle {\bar {\psi }}({\bar {z}})}
(
0
,
1
/
2
)
{\displaystyle (0,1/2)}
스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, 뒤틀림장 (영어 : twist field )이라고 한다.[7] :§6.2
(
h
,
h
¯
)
=
(
1
/
16
,
0
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/16,0)}
(
h
,
h
¯
)
=
(
0
,
1
/
16
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})=(0,1/16)}
정칙 자유 페르미온의 이론은
c
=
1
/
2
{\displaystyle c=1/2}
ψ
(
z
)
ψ
¯
(
z
¯
)
{\displaystyle \psi (z){\bar {\psi }}({\bar {z}})}
(
h
,
h
¯
)
=
(
1
/
2
,
1
/
2
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,1/2)}
보손화 의 기초적인 예이다.
c
=
7
/
10
{\displaystyle c=7/10}
영어 : tricritical Ising model )의 임계점 근처 현상을 나타낸다.[8]
σ
∈
{
−
1
,
0
,
+
1
}
{\displaystyle \sigma \in \{-1,0,+1\}}
H
=
K
∑
⟨
i
j
⟩
σ
i
σ
j
−
Δ
∑
i
σ
i
2
{\displaystyle H=K\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-\Delta \sum _{i}\sigma _{i}^{2}}
이다. 이 이론에서는 온도
T
{\displaystyle T}
∑
i
σ
i
2
{\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}^{2}}
퓨가시티
z
=
exp
(
−
μ
)
{\displaystyle z=\exp(-\mu )}
z
→
0
{\displaystyle z\to 0}
이징 모형 과 같으며, 일정한 온도
T
=
T
0
(
z
=
0
)
{\displaystyle T=T_{0}(z=0)}
2차 상전이 가 존재한다. 반대로,
T
=
0
{\displaystyle T=0}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
z
=
z
0
{\displaystyle z=z_{0}}
1차 상전이 가 존재한다. (
z
→
0
{\displaystyle z\to 0}
z
→
∞
{\displaystyle z\to \infty }
T
{\displaystyle T}
z
{\displaystyle z}
삼중점 (영어 : tricritical point )이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은
c
=
7
/
10
{\displaystyle c=7/10}
이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.[9]
무게
(
h
,
h
¯
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})}
설명
(0,0)
진공
(3/80,3/80)
평균 스핀 (자기화)
σ
{\displaystyle \sigma }
(7/16,7/16)
자기화 준밀도(영어 : subleading magnetization density )
(1/10,1/10)
에너지 밀도
(3/5,3/5)
양공 밀도(영어 : vacancy ) = 에너지 밀도의 초대칭짝
(3/2,3/2)
에너지 준밀도(영어 : subleading energy density ) = 초전류
c
=
1
{\displaystyle c=1}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
초대칭 최소 모형은 반지름이
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
시그마 모형 으로 나타낼 수 있다.[4] [5]
ϕ
{\displaystyle \phi }
O
n
,
n
¯
=
exp
(
i
(
n
ψ
(
z
)
+
n
¯
ψ
¯
(
z
¯
)
)
/
12
)
(
n
,
n
¯
∈
Z
;
n
−
n
¯
≡
0
(
mod
6
)
)
{\displaystyle O_{n,{\bar {n}}}=\exp(i(n\psi (z)+{\bar {n}}{\bar {\psi }}({\bar {z}}))/{\sqrt {12}})\qquad (n,{\bar {n}}\in \mathbb {Z} ;\;n-{\bar {n}}\equiv 0{\pmod {6}})}
(
h
(
O
n
,
n
¯
)
,
h
¯
(
O
n
,
n
¯
)
)
=
(
n
2
/
24
,
n
¯
2
/
24
)
{\displaystyle \left(h(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {h}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n^{2}/24,{\bar {n}}^{2}/24)}
(
q
(
O
n
,
n
¯
)
,
q
¯
(
O
n
,
n
¯
)
)
=
(
n
/
6
,
−
n
¯
/
6
)
{\displaystyle \left(q(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {q}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n/6,-{\bar {n}}/6)}
이 경우,
n
{\displaystyle n}
n
¯
{\displaystyle {\bar {n}}}
이 이론에서
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
Q
±
(
z
)
=
O
±
6
,
0
(
z
)
{\displaystyle Q^{\pm }(z)=O_{\pm 6,0}(z)}
Q
¯
±
(
z
¯
)
=
O
0
,
∓
6
(
z
¯
)
{\displaystyle {\bar {Q}}^{\pm }({\bar {z}})=O_{0,\mp 6}({\bar {z}})}
J
(
z
)
=
i
∂
ϕ
(
z
)
/
3
{\displaystyle J(z)=i\partial \phi (z)/{\sqrt {3}}}
J
¯
(
z
¯
)
=
−
i
∂
¯
ϕ
¯
(
z
¯
)
/
3
{\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-i{\bar {\partial }}{\bar {\phi }}({\bar {z}})/{\sqrt {3}}}
이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상
h
=
h
¯
{\displaystyle h={\bar {h}}}
q
=
q
¯
{\displaystyle q={\bar {q}}}
(
h
,
q
)
{\displaystyle (h,q)}
(
n
,
n
¯
)
{\displaystyle (n,{\bar {n}})}
NS (반)손지기장
(
1
/
6
,
±
1
/
3
)
{\displaystyle (1/6,\pm 1/3)}
(
±
2
,
±
2
)
{\displaystyle (\pm 2,\pm 2)}
라몽 바닥 상태
(
1
/
24
,
±
1
/
6
)
{\displaystyle (1/24,\pm 1/6)}
(
±
1
,
±
1
)
{\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}
라몽 상태
(
3
/
8
,
±
1
/
2
)
{\displaystyle (3/8,\pm 1/2)}
(
±
3
,
±
3
)
{\displaystyle (\pm 3,\pm 3)}
이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에
G
−
1
/
2
±
{\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }}
(
n
,
n
¯
)
=
(
4
,
4
)
{\displaystyle (n,{\bar {n}})=(4,4)}
(
n
,
n
¯
)
=
(
−
2
,
−
2
)
{\displaystyle (n,{\bar {n}})=(-2,-2)}
G
−
1
/
2
+
G
¯
−
1
/
2
+
{\displaystyle G_{-1/2}^{+}{\bar {G}}_{-1/2}^{+}}
이 모형에,
ϕ
∼
−
ϕ
{\displaystyle \phi \sim -\phi }
오비폴드 를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면,
c
=
1
{\displaystyle c=1}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
↑ 가 나 다 라 마 바 사 Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin , Heidelberg : Springer-Verlag. Bibcode :2009LNP...779.....B . doi :10.1007/978-3-642-00450-6 . ISBN 978-3-642-00449-0 MR 2848105 . ↑ 가 나 Friedan, D.; Z. Qiu, S. Shenker (1985). “Conformal invariance, unitarity, and critical exponents in two dimensions” (PDF) . 《Physics Letters B》 (영어) 151 : 37. 2015년 9월 24일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2015년 3월 18일에 확인함 . ↑ (영어). arXiv :hep-th/9801035 . ↑ 가 나 다 Kiritsis, Elias B. (1988년 1월 21일). “The
c
^
=
2
3
{\displaystyle {\hat {c}}={\tfrac {2}{3}}}
N
=
1
{\displaystyle N=1}
21 (2): 297–306. doi :10.1088/0305-4470/21/2/011 . ISSN 0305-4470 . ↑ 가 나 다 Lerche, Wolfgang; Cumrun Vafa , Nicholas P. Warner. “Chiral rings in
N
=
2
{\displaystyle N=2}
(PDF) . 《Nuclear Physics B》 (영어). Bibcode :1989NuPhB.324..427L . doi :10.1016/0550-3213(89)90474-4 . [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )] ↑ (영어). arXiv :1204.0446 . ↑ 가 나 Ginsparg, Paul (1988년 11월). “Applied conformal field theory” (영어). arXiv :hep-th/9108028 . Bibcode :1991hep.th....8028G . ↑ Christe, Philippe; Malte Henkel. 《Introduction to Conformal Invariance and Its Applications to Critical Phenomena》. Lecture Notes in Physics Monographs (영어) 16 . doi :10.1007/978-3-540-47575-0 . ISBN 978-3-540-56504-8 ↑ (영어). arXiv :9612154 .
![{\displaystyle H^{\bullet }({\mathcal {H}}_{k},G_{-1/2}^{+})\cong \mathbb {C} [x]/(x^{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f6d3a6588c338a04c1840d9147a96100459aa0)
![{\displaystyle m\in [-l+1,l-1]\cup \{l+1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e845bdff304d02de75bfe52373d315a5f13a461)
