천-사이먼스 형식

미분위상수학에서 천-사이먼스 형식([陳]-Simons型式, 영어: Chern–Simons form)은 리 대수 값 미분형식에 대해 곡률 특성 형식(curvature characteristic form)을 자명화시키는 미분형식이다. 이차 특성류 가운데 하나로 볼 수도 있다. 1974년 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다. 특수한 경우로서 G-주다발과 접속이 주어진 홀수 차원 매끄러운 다양체에서 정의하기도 한다.

정의

천-사이먼스 원소

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• ${\mathfrak {g}}$의 $n$차 불변 다항식 $p\in \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

그렇다면, ${\mathfrak {g}}$로 구성되는 베유 대수 $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$를 정의할 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수이다. 또한, 불변 다항식의 공간 $\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})$은 자연스럽게 베유 대수의 부분 공간으로 간주될 수 있다.

$\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$

이제, $p\in \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})$의 원소는 베유 대수 $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$ 속에서 항상 닫힌 원소이며, 베유 대수의 코호몰로지는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서,

$\mathrm {d} {\mathsf {c}}=p$

가 되는 $2n-1$차 원소

${\mathsf {c}}\in \operatorname {W} ^{2n-1}({\mathfrak {g}})$

를 찾을 수 있다. 이를 $p$의 천-사이먼스 원소(영어: Chern–Simons element)라고 한다.

이과 같은 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화된다.

리 대수 값 미분 형식의 천-사이먼스 형식

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 유한 차원 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• ${\mathfrak {g}}$값의 1차 미분 형식 $A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$

그렇다면, $A$는 가환 미분 등급 대수의 준동형

${\mathsf {A}}\colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {\Omega } (M)$

과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로, ${\mathfrak {g}}$의 기저를 $(t_{i})_{i\in I}$라고 하고, $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을 $(t^{i})_{i\in I}\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$라고 할 때, 미분 등급 대수 준동형 ${\mathsf {A}}$에 대응하는 1차 미분 형식은 $A=t_{i}{\mathsf {A}}(t^{i})\in \operatorname {\Omega } ^{1}(M;{\mathfrak {g}})$ 이다.

이에 따라서, ${\mathfrak {g}}$의 $n$차 불변 다항식 $p$에 대한 $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$ 속의 대수적 천-사이먼스 원소

${\mathsf {c}}\in \operatorname {W} ^{2n-1}({\mathfrak {g}})$

에 대하여, 그 상

$\operatorname {CS} (A,p)={\mathsf {A}}({\mathsf {c}})\in \operatorname {\Omega } ^{2n-1}(M)$

은 $M$ 위의 $2n-1$차 미분 형식을 이룬다. 즉, 이는

$\mathrm {d} \operatorname {CS} (A,p)=p(A)$

를 만족시킨다.

주접속의 천-사이먼스 형식

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$ 및 그 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• $G$-주다발 $G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$
• $P$ 위의 주접속 $A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$

그렇다면, $P$의 주접속의 공간은 $\operatorname {\Omega } ^{1}(M;{\mathfrak {g}})$에 대한 아핀 공간이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다.

원점을 고르는 것은 주접속 $P$의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 열린 덮개 $(U_{\beta })_{\beta \in B}$ 및 미분 동형 $U_{\beta }\times G\to (P\upharpoonright U_{\beta })$들을 고르면, 주접속 $A$는 덮개의 각 원소 위의 ${\mathfrak {g}}$값 1차 미분 형식들의 모임

$A\upharpoonright U_{\beta }\in \operatorname {\Omega } ^{1}(U;{\mathfrak {g}})$

의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 불변 다항식 $p\in \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})$에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여 $M$ 전체에 정의된 미분 형식

$\omega _{2n-1}\in \operatorname {\Omega } ^{2n-1}(M)$

을 얻을 수 있다.

이렇게 하여 얻은 미분 형식은 $p$가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, 항등 함수와 호모토픽한 게이지 변환 $\in \operatorname {Aut} (P)={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)$)에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉, $\operatorname {Aut} (P)={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)$의 자명하지 않은 연결 성분)에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다.

다만, 만약 (예를 들어) $M$이 $2n-1$차원 매끄러운 다양체라면, 그 적분

$S_{\operatorname {CS} }=\int _{M}\omega _{2n-1}\in \mathbb {R}$

을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군

$\pi _{0}({\mathcal {C}}^{\infty }(M,G))$

은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약 $\pi _{0}({\mathcal {C}}^{\infty }(M,G))$의 작용이

$S_{\operatorname {CS} }\mapsto S_{\operatorname {CS} }+(\Delta S_{\operatorname {CS} })\mathbb {Z}$

의 꼴이라면, 이 경우

$\exp(2\pi \mathrm {i} S_{\operatorname {CS} })\in \operatorname {U} (1)$

는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 천-사이먼스 이론의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 천-사이먼스 이론의 전위(영어: level)의 양자화로 귀결된다.

성질

매끄러운 다양체 $M$ 위의 평탄 주접속 $A$의 (임의의 불변 다항식)에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) 닫힌 미분 형식이다. 마찬가지로, $n$차 불변 다항식 $p$에 대하여, 만약

$\dim M=2n-1$

이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 코호몰로지류를 정의한다.

예

가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 유한 차원 표현

$\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(N;\mathbb {R} )$

이 주어졌을 때,

$p_{n}(x^{i})=\operatorname {tr} \left(\left(\sum _{i}x^{i}\rho (t_{i})\right)^{n}\right)$

는 대각합의 순환성에 의하여 항상 $2n$차 불변 다항식이다.

따라서, 이에 대한 $2n-1$차 천-사이먼스 형식 $\omega _{2n-1}$을 정의할 수 있다. 즉,

$\omega _{2n-1}=\operatorname {tr} (\rho (F)^{n})$

이 된다. 여기서 $\rho (F)^{n}$이란 $\rho$를 사용하여 $t_{i}{\mathsf {A}}(\delta t^{i})=F\in \operatorname {\Omega } ^{2}(M;{\mathfrak {g}})$를 2차 미분 형식의 $N\times N$ 정사각 행렬로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 쐐기곱을 합성한 연산에 대한 제곱이다.

만약 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n)$일 때, $\omega _{1},\omega _{3},\dotsc ,\omega _{2n-1}$들은 ${\mathfrak {u}}(n)$의 $n$개 불변 다항식에 각각 대응한다. (만약 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)$일 경우, $\omega _{1}=0$이 된다.)

이러한 7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다.

$\omega _{1}=\operatorname {tr} A$

$\omega _{3}=\operatorname {tr} \left(F\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A\right)$

$\omega _{5}=\operatorname {tr} \left(F\wedge F\wedge A-{\frac {1}{2}}F\wedge A\wedge A\wedge A+{\frac {1}{10}}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right)$

$\omega _{7}=\operatorname {tr} \left({\frac {4}{7}}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+{\frac {8}{3}}dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+{\frac {4}{3}}dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right)$

이러한 식에서, $\wedge$는 사실 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취하는 것이다.

천-사이먼스 형식의 계산

이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 다음과 같이 대수적으로 모형화될 수 있다.

하나의 등급 1의 생성원 ${\mathsf {a}}$로 생성되는 유리수 계수 자유 미분 대수

${\mathcal {A}}=\mathbb {Q} \langle {\mathsf {a}},\mathrm {d} {\mathsf {a}}\rangle$

를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, 미분 연산 $\mathrm {d}$는 멱영 연산이며 ${\mathsf {a}}$에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉,

$\mathrm {d} ^{2}\mathrm {a} =0$

$\mathrm {d} \colon {\mathsf {a}}p\mapsto (\mathrm {d} {\mathsf {a}})p-{\mathsf {a}}(\mathrm {d} p)\qquad \forall p\in A$

$\mathrm {d} \colon (\mathrm {d} {\mathsf {a}})p\mapsto (\mathrm {d} {\mathsf {a}})(\mathrm {d} p)\qquad \forall p\in A$

이다.

이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 부분 벡터 공간을 생각하자.

$V=\operatorname {Span} _{\mathbb {Q} }\left\{pq-(-)^{\deg p\deg q}qp\colon p,q\in {\mathcal {A}}\right\}\subsetneq {\mathcal {A}}$

(이는 대각합의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 아이디얼이 아니다. 예를 들어, ${\mathsf {a}}^{2}\in V$이지만 ${\mathsf {a}}^{3}\not \in V$이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여,

$\mathrm {d} {\mathsf {w}}_{2k-1}-(\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})^{k}\in V$

가 되는 원소 ${\mathsf {w}}_{2k-1}\in {\mathcal {A}}$가 존재함을 보일 수 있으며, 그 동치류 ${\mathsf {w}}_{2k-1}+V\in {\mathcal {A}}/V$는 유일하다. 이것이 $2n-1$차 천-사이먼스 형식이 된다.

특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때,

${\mathsf {a}}^{2k}\in V$

이라는 사실이 자주 사용된다.

이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상 ${\mathsf {f}}=\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2}$이며, “대각합” $\operatorname {tr} (-)$은 ${\mathcal {A}}/V$로 동치류를 취하는 것이다.

1차 천-사이먼스 형식의 계산:

$\operatorname {tr} ({\mathsf {f}})=\operatorname {tr} (\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})=\operatorname {tr} (\mathrm {d} {\mathsf {a}})$

3차 천-사이먼스 형식의 계산:

${\begin{aligned}\operatorname {tr} ({\mathsf {f}}^{2})&=\operatorname {tr} \left((\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})(\mathrm {d} {\mathsf {a}}+{\mathsf {a}}^{2})\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\mathrm {d} {\mathsf {a}}^{2}+2(\mathrm {d} {\mathsf {a}}){\mathsf {a}}^{2}\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\mathrm {d} ((\mathrm {d} {\mathsf {a}}){\mathsf {a}})+{\frac {2}{3}}{\mathsf {a}}^{3}\right)\\&=\operatorname {tr} \mathrm {d} \left((\mathrm {d} {\mathsf {a}}){\mathsf {a}}+{\frac {2}{3}}{\mathsf {a}}^{3}\right)\\&=\operatorname {tr} \mathrm {d} \left({\mathsf {f}}{\mathsf {a}}-{\frac {1}{3}}{\mathsf {a}}^{3}\right)\end{aligned}}$

역사

천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다. 천싱선과 사이먼스는 리만 다양체의 폰트랴긴 특성류를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다.

물리학에 응용

1978년 러시아 수리물리학자 알베르트 시바르츠는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 위상 양자장론 가운데 하나인 천-사이먼스 이론을 최초로 발견하였다. 이는 3차원 양자중력과도 연결되며 분수 양자 홀 효과를 설명하기도 한다. 또한 양-밀스 이론과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다.

외부 링크

• “Chern-Simons functional”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Chern-Simons form”. 《nLab》 (영어).