가약 리 대수

리 군론에서 가약 리 대수(可約Lie代數, 영어: reductive Lie algebra)는 그 딸림표현이 완전 가약 표현인 리 대수이다.

정의

완전 가약 표현

체 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 유한 차원 표현

$\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V;K)$

에 대하여, 만약 $\rho$가 기약 표현들의 직합이라면, $\rho$를 완전 가약 표현(完全可約表現, 영어: completely reducible representation)이라고 한다.

가약 리 대수

표수 0의 체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 리 대수를 가약 리 대수라고 한다.

• ${\mathfrak {g}}$의 딸림표현은 완전 가약 표현이다.
• ${\mathfrak {g}}$는 충실한 유한 차원 완전 가약 표현 ${\mathfrak {g}}\hookrightarrow {\mathfrak {gl}}(n;K)$을 갖는다.
• ${\mathfrak {g}}$의 중심은 ${\mathfrak {g}}$의 리 대수 근기와 같다. 즉, $\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}$이다.
• ${\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}$인 반단순 리 대수 ${\mathfrak {s}}$와 아벨 리 대수 ${\mathfrak {a}}$가 존재한다.

외부 링크

• “Lie algebra, reductive”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.