리 대수의 표현 (Lie代數-表現, 영어 : representation of a Lie algebra )은 주어진 리 대수 를 벡터 공간 의 선형 변환 의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형 이다. 군의 표현 과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군 의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.
가환환
R
{\displaystyle R}
리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
표현
(
M
,
ϕ
)
{\displaystyle (M,\phi )}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
가군 이다.
ϕ
:
g
→
g
l
(
M
;
R
)
{\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M;R)}
g
l
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(M;R)}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
자기 사상 들로 구성된 단위 결합 대수 의 리 대수 이다.이는
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
보편 포락 대수
U
(
g
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}
가군 과 같은 개념이다.
위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. 함수
ϕ
:
g
×
M
→
M
{\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\times M\to M}
(쌍선형성)
ϕ
{\displaystyle \phi }
(스칼라곱) 임의의
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
x
∈
g
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
ϕ
(
r
x
,
m
)
=
ϕ
(
x
,
r
m
)
=
r
ϕ
(
x
,
m
)
{\displaystyle \phi (rx,m)=\phi (x,rm)=r\phi (x,m)}
(
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
x
,
y
∈
g
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
ϕ
(
x
+
y
,
m
)
=
ϕ
(
x
,
m
)
+
ϕ
(
y
,
m
)
{\displaystyle \phi (x+y,m)=\phi (x,m)+\phi (y,m)}
(
M
{\displaystyle M}
x
∈
g
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}
m
,
n
∈
M
{\displaystyle m,n\in M}
ϕ
(
x
,
m
+
n
)
=
ϕ
(
x
,
m
)
+
ϕ
(
x
,
n
)
{\displaystyle \phi (x,m+n)=\phi (x,m)+\phi (x,n)}
(리 괄호 의 보존) 임의의
x
,
y
∈
g
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
ϕ
(
[
x
,
y
]
,
m
)
=
ϕ
(
x
,
ϕ
(
y
,
m
)
)
−
ϕ
(
y
,
ϕ
(
x
,
m
)
)
{\displaystyle \phi ([x,y],m)=\phi (x,\phi (y,m))-\phi (y,\phi (x,m))}
표현
ρ
:
g
→
g
l
(
V
)
{\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
무게 (영어 : weight )는 카르탕 부분대수 의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터 의 고윳값 들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수 를
h
⊂
g
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}
쌍대공간 의 원소인
ρ
{\displaystyle \rho }
λ
∈
h
∗
{\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
ξ
∈
h
{\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}
ρ
(
ξ
)
v
=
λ
(
ξ
)
v
{\displaystyle \rho (\xi )v=\lambda (\xi )v}
딸림표현의 무게의 집합은 근계 를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.
자명한 표현 편집 가환환
R
{\displaystyle R}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
R
{\displaystyle R}
가군
M
{\displaystyle M}
상수 함수
ϕ
:
g
×
M
→
M
{\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\times M\to M}
ϕ
:
(
x
,
m
)
→
0
{\displaystyle \phi \colon (x,m)\to 0}
는
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
자명한 표현 (영어 : trivial representation )이라고 한다.
가환환
R
{\displaystyle R}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad
:
g
→
gl
(
g
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {gl} ({\mathfrak {g}};R)}
ad
:
x
↦
[
x
,
−
]
{\displaystyle \operatorname {ad} \colon x\mapsto [x,-]}
로 정의하면,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
딸림표현
G
{\displaystyle G}
리 대수
Lie
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}
군의 표현 인 딸림표현 의 무한소 형태이다.
아벨 리 대수 편집 가환환
R
{\displaystyle R}
가군
M
{\displaystyle M}
아벨 리 대수 로 생각하자. 임의의
R
{\displaystyle R}
가군 준동형
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to R}
ϕ
:
M
×
R
→
R
{\displaystyle \phi \colon M\times R\to R}
ϕ
:
(
m
,
r
)
↦
f
(
m
)
r
{\displaystyle \phi \colon (m,r)\mapsto f(m)r}
로 정의하면 이는
M
{\displaystyle M}
같이 보기 편집
참고 문헌 편집
J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory , Birkhäuser, 2000 
![{\displaystyle \phi ([x,y],m)=\phi (x,\phi (y,m))-\phi (y,\phi (x,m))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e211060c20a049695985958bf83a67598cfd8043)
![{\displaystyle \operatorname {ad} \colon x\mapsto [x,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c435394807b26dd50cef7729680e06513c20a5)
