리 대수의 표현 (Lie代數-表現, 영어 : representation of a Lie algebra )은 주어진 리 대수 를 벡터 공간 의 선형 변환 의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형 이다. 군의 표현 과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군 의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.
가환환 R {\displaystyle R} 리 대수 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 표현 ( M , ϕ ) {\displaystyle (M,\phi )}
M {\displaystyle M} R {\displaystyle R} 가군 이다.ϕ : g → g l ( M ; R ) {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M;R)} g l ( M ; R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(M;R)} M {\displaystyle M} R {\displaystyle R} 자기 사상 들로 구성된 단위 결합 대수 의 리 대수 이다.이는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 보편 포락 대수 U ( g ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})} 가군 과 같은 개념이다.
위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. 함수 ϕ : g × M → M {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\times M\to M}
(쌍선형성) ϕ {\displaystyle \phi } (스칼라곱) 임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} m ∈ M {\displaystyle m\in M} ϕ ( r x , m ) = ϕ ( x , r m ) = r ϕ ( x , m ) {\displaystyle \phi (rx,m)=\phi (x,rm)=r\phi (x,m)}
(g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} m ∈ M {\displaystyle m\in M} ϕ ( x + y , m ) = ϕ ( x , m ) + ϕ ( y , m ) {\displaystyle \phi (x+y,m)=\phi (x,m)+\phi (y,m)}
(M {\displaystyle M} x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} m , n ∈ M {\displaystyle m,n\in M} ϕ ( x , m + n ) = ϕ ( x , m ) + ϕ ( x , n ) {\displaystyle \phi (x,m+n)=\phi (x,m)+\phi (x,n)}
(리 괄호 의 보존) 임의의 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} ϕ ( [ x , y ] , m ) = ϕ ( x , ϕ ( y , m ) ) − ϕ ( y , ϕ ( x , m ) ) {\displaystyle \phi ([x,y],m)=\phi (x,\phi (y,m))-\phi (y,\phi (x,m))} 표현 ρ : g → g l ( V ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} 무게 (영어 : weight )는 카르탕 부분대수 의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터 의 고윳값 들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수 를 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} 쌍대공간 의 원소인 ρ {\displaystyle \rho } λ ∈ h ∗ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}} v ∈ V {\displaystyle v\in V} ξ ∈ h {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}} ρ ( ξ ) v = λ ( ξ ) v {\displaystyle \rho (\xi )v=\lambda (\xi )v}
딸림표현의 무게의 집합은 근계 를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.
자명한 표현
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가환환 R {\displaystyle R} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} R {\displaystyle R} 가군 M {\displaystyle M} 상수 함수
ϕ : g × M → M {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\times M\to M} ϕ : ( x , m ) → 0 {\displaystyle \phi \colon (x,m)\to 0} 는 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 자명한 표현 (영어 : trivial representation )이라고 한다.
딸림표현
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가환환 R {\displaystyle R} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad : g → gl ( g ; R ) {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {gl} ({\mathfrak {g}};R)} ad : x ↦ [ x , − ] {\displaystyle \operatorname {ad} \colon x\mapsto [x,-]} 로 정의하면, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 딸림표현 G {\displaystyle G} 리 대수 Lie ( G ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (G)} 군의 표현 인 딸림표현 의 무한소 형태이다.
아벨 리 대수
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가환환 R {\displaystyle R} 가군 M {\displaystyle M} 아벨 리 대수 로 생각하자. 임의의 R {\displaystyle R} 가군 준동형 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to R}
ϕ : M × R → R {\displaystyle \phi \colon M\times R\to R} ϕ : ( m , r ) ↦ f ( m ) r {\displaystyle \phi \colon (m,r)\mapsto f(m)r} 로 정의하면 이는 M {\displaystyle M}
같이 보기
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참고 문헌
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J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory , Birkhäuser, 2000
![{\displaystyle \phi ([x,y],m)=\phi (x,\phi (y,m))-\phi (y,\phi (x,m))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e211060c20a049695985958bf83a67598cfd8043)
이 부분의 본문은 무게 (표현론)입니다.
![{\displaystyle \operatorname {ad} \colon x\mapsto [x,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c435394807b26dd50cef7729680e06513c20a5)
