단조함수항 급수의 항별 미분에 관한 정리에 대해서는
푸비니의 미분 정리 문서를 참고하십시오.
해석학 에서 푸비니 정리 (-定理, 영어 : Fubini’s theorem ) 또는 푸비니-토넬리 정리 (-定理, 영어 : Fubini-Tonelli theorem )는 이중 적분 은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.
추이 측도로 유도된 측도의 경우
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다음이 주어졌다고 하자.
시그마 유한 측도 공간 ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
가측 공간 ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
시그마 유한 추이 측도 ν : X × G → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \nu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]} 그렇다면, 곱 가측 공간 ( X × Y , F × G ) {\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})} 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 μ × ν {\displaystyle \mu \times \nu } 가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도 를 이룬다.
( μ × ν ) ( A × B ) = ∫ A ν ( x , B ) d μ ( x ) ( ∀ A ∈ F , B ∈ G ) {\displaystyle (\mu \times \nu )(A\times B)=\int _{A}\nu (x,B)\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall A\in {\mathcal {F}},\;B\in {\mathcal {G}})} 구체적으로 이 측도는 다음과 같다.
( μ × ν ) ( S ) = ∫ X ν ( x , { y ∈ Y : ( x , y ) ∈ S } ) d μ ( x ) ( ∀ S ∈ F × G ) {\displaystyle (\mu \times \nu )(S)=\int _{X}\nu (x,\{y\in Y\colon (x,y)\in S\})\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall S\in {\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})} 또한, 일반화 푸비니 정리 (一般化-定理, 영어 : generalized Fubini’s theorem )에 따르면, 다음이 성립한다.
임의의 음이 아닌 가측 함수 f : X × Y → ( [ 0 , ∞ ) , B ( [ 0 , ∞ ) ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))} 에 대하여, 다음 함수는 가측 함수 이다.
( X , F ) → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}
x ↦ ∫ Y f ( x , y ) d ν ( x , ⋅ ) ( y ) {\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)}
임의의 가측 함수 f : X × Y → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 의 적분이 확장된 실수 로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 f {\displaystyle f} 가 ( μ × ν ) {\displaystyle (\mu \times \nu )} -적분 가능하다면, 거의 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, y ↦ f ( x , y ) {\displaystyle y\mapsto f(x,y)} 는 ν ( x , ⋅ ) {\displaystyle \nu (x,\cdot )} -적분 가능하다.)[1] :384–385, Theorem 10.7.2
∫ X × Y f d ( μ × ν ) = ∫ X d μ ( x ) ∫ Y f ( x , y ) d ν ( x , ⋅ ) ( y ) {\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)} 곱측도의 경우
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두 시그마 유한 측도 공간 ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} 와 ( Y , G , ν ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},\nu )} 가 주어졌다고 하자. 또한 ( X × Y , F × G , μ × ν ) {\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}},\mu \times \nu )} 가 곱측도 공간이라고 하자. 푸비니 정리 에 따르면, 다음이 성립한다.[2] :164–165
임의의 음이 아닌 가측 함수 f : X × Y → ( [ 0 , ∞ ) , B ( [ 0 , ∞ ) ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))} 에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수 이다.
( X , F ) → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}
x ↦ ∫ Y f ( x , y ) d ν ( y ) {\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)}
( Y , G ) → ( [ 0 , ∞ ] , B ( [ 0 , ∞ ] ) ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}
y ↦ ∫ X f ( x , y ) d μ ( x ) {\displaystyle y\mapsto \int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)}
임의의 가측 함수 f : X × Y → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 에 대하여, 만약 f {\displaystyle f} 의 적분이 확장된 실수 로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 f {\displaystyle f} 가 ( μ × ν ) {\displaystyle (\mu \times \nu )} -적분 가능하다면, 거의 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 y ↦ f ( x , y ) {\displaystyle y\mapsto f(x,y)} 는 ν {\displaystyle \nu } -적분 가능하며, 거의 모든 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여 x ↦ f ( x , y ) {\displaystyle x\mapsto f(x,y)} 는 μ {\displaystyle \mu } -적분 가능하다.)[3] :185, Theorem 3.4.4
∫ X × Y f d ( μ × ν ) = ∫ X d μ ( x ) ∫ Y f ( x , y ) d ν ( y ) = ∫ Y d ν ( y ) ∫ X f ( x , y ) d μ ( x ) {\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)=\int _{Y}\mathrm {d} \nu (y)\int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)} 이는 추이 측도 에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.
X × G → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}
( x , B ) ↦ ν ( B ) {\displaystyle (x,B)\mapsto \nu (B)}
Y × F → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle Y\times {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}
( y , A ) ↦ μ ( A ) {\displaystyle (y,A)\mapsto \mu (A)} 리만 적분
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직사각형 [ a , b ] × [ c , d ] ⊆ R {\displaystyle [a,b]\times [c,d]\subseteq \mathbb {R} } 위에 정의된 함수 f : [ a , b ] × [ c , d ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} } 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
f {\displaystyle f} 는 [ a , b ] × [ c , d ] {\displaystyle [a,b]\times [c,d]} 위에서 리만 적분 가능하다.
임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여, y ↦ f ( x , y ) {\displaystyle y\mapsto f(x,y)} 는 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} 위에서 리만 적분 가능하다.
임의의 y ∈ [ a , b ] {\displaystyle y\in [a,b]} 에 대하여, x ↦ f ( x , y ) {\displaystyle x\mapsto f(x,y)} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위에서 리만 적분 가능하다. 그렇다면, 다음이 성립한다.[4] :376
x ↦ ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 와 y ↦ ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle y\mapsto \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 위에서 리만 적분 가능하다.
∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x}
다르부 적분 의 정의에 따라, 임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 에 대하여 리만 적분
∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.
L ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y ≤ L ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y ≤ U ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y ≤ U ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \operatorname {L} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\leq \operatorname {L} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y} 여기서 U {\displaystyle \operatorname {U} } 와 L {\displaystyle \operatorname {L} } 은 각각 다르부 상적분 과 다르부 하적분 을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 f {\displaystyle f} 가 [ a , b ] × [ c , d ] {\displaystyle [a,b]\times [c,d]} 에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분
∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 가 존재하며
∬ [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 이다. 남은 절반의 증명은 유사하다.
이상 적분
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확장된 실수 a < b {\displaystyle a<b} 및 실수 c < d {\displaystyle c<d} 및 함수 f : ( a , b ) × [ c , d ] → R {\displaystyle f\colon (a,b)\times [c,d]\to \mathbb {R} } 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
f {\displaystyle f} 는 연속 함수 이다.
이상 적분 ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x} 는 y ∈ [ c , d ] {\displaystyle y\in [c,d]} 위에서 균등 수렴 한다.그렇다면, 다음이 성립한다.[4] :391
이상 적분 ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 가 존재한다.
∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y {\displaystyle \int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y} 그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.
같이 보기
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참고 문헌
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외부 링크
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