범주론 에서 부분 대상 분류자 (部分對象分類子, 영어 : subobject classifier )는 주어진 대상의 각각의 부분 대상 들을, 특정한 대상 2 {\displaystyle 2} 로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. 집합론 에서의 지시 함수 의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스 에서 항상 존재한다.
범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 끝 대상 1 {\displaystyle 1} 을 갖는다고 하자. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 부분 대상 분류자 는 다음 조건을 만족시키는, 대상 2 {\displaystyle 2} 및 사상 ⊤ : 1 → 2 {\displaystyle \top \colon 1\to 2} 의 순서쌍이다. (대상 2 {\displaystyle 2} 는 문헌에 따라 Ω {\displaystyle \Omega } 로 표기하기도 한다.)
모든 단사 사상 ι : X ↪ Y {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y} 에 대하여, Y ← ι X → 1 {\displaystyle Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1} 이 Y → χ ι 2 ← ⊤ 1 {\displaystyle Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1} 의 당김 이 되는 사상 χ ι : Y → 2 {\displaystyle \chi _{\iota }\colon Y\to 2} 이 유일하게 존재한다. 여기서 사상 χ ι {\displaystyle \chi _{\iota }} 를 ι {\displaystyle \iota } 의 지시 사상 (영어 : indicator morphism )이라고 한다.
유한 완비 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 대상 2 {\displaystyle 2} 및 사상 ⊤ : 1 → 2 {\displaystyle \top \colon 1\to 2} 가 다음 조건을 만족시킨다면, ( 2 , ⊤ ) {\displaystyle (2,\top )} 을 강한 부분 대상 분류자 (強-部分對象分類子, 영어 : strong subobject classifier )라고 한다.
모든 강한 단사 사상 ι : X ↪ Y {\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y} 에 대하여, Y ← ι X → 1 {\displaystyle Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1} 이 Y → χ ι 2 ← ⊤ 1 {\displaystyle Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1} 의 당김 이 되는 사상 χ ι : Y → 2 {\displaystyle \chi _{\iota }\colon Y\to 2} 이 유일하게 존재한다. 강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상 에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상 은 부분 대상 이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
모든 토포스 는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스 는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.
각종 토포스 에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.
토포스
부분 대상 분류자
집합의 토포스 Set {\displaystyle \operatorname {Set} }
두 개의 원소를 가진 집합 { ∙ 1 , ∙ 2 } {\displaystyle \{\bullet _{1},\bullet _{2}\}}
유한 집합 의 토포스 FinSet {\displaystyle \operatorname {FinSet} }
두 개의 원소를 가진 집합 { ∙ 1 , ∙ 2 } {\displaystyle \{\bullet _{1},\bullet _{2}\}}
위상 공간 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 위의 (집합) 층 의 토포스 Sh ( X ) {\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}
열린집합 V ⊂ X {\displaystyle V\subset X} 에 대하여, 열린 부분 집합 들의 층 U ( V ) = { U ∩ V | U ∈ U } {\displaystyle {\mathcal {U}}(V)=\{U\cap V|U\in {\mathcal {U}}\}}
작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 위의 준층 의 토포스 Set C op {\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}
대상 C ∈ C {\displaystyle C\in {\mathcal {C}}} 에 대하여, C {\displaystyle C} 위의 모든 체 들의 집합의 준층 Sieve ( C ) {\displaystyle \operatorname {Sieve} (C)}
토포스 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 및 대상 X ∈ T {\displaystyle X\in {\mathcal {T}}} 에 대하여, T / X {\displaystyle {\mathcal {T}}/X}
T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 의 부분 대상 분류자 2 T ∈ T {\displaystyle 2_{\mathcal {T}}\in {\mathcal {T}}} 에 대하여, 사영 proj 2 : 2 T × X ↠ X {\displaystyle \operatorname {proj} _{2}\colon 2_{\mathcal {T}}\times X\twoheadrightarrow X}
참고 문헌
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외부 링크
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