부분 대상 분류자

범주론에서 부분 대상 분류자(部分對象分類子, 영어: subobject classifier)는 주어진 대상의 각각의 부분 대상들을, 특정한 대상 로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. 집합론에서의 지시 함수의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스에서 항상 존재한다.

정의 편집

범주  끝 대상  을 갖는다고 하자.  부분 대상 분류자는 다음 조건을 만족시키는, 대상   및 사상  의 순서쌍이다. (대상  는 문헌에 따라  로 표기하기도 한다.)

  • 모든 단사 사상  에 대하여,   당김이 되는 사상  이 유일하게 존재한다.

여기서 사상   지시 사상(영어: indicator morphism)이라고 한다.

유한 완비 범주   속의 대상   및 사상  가 다음 조건을 만족시킨다면,  강한 부분 대상 분류자(強-部分對象分類子, 영어: strong subobject classifier)라고 한다.

  • 모든 강한 단사 사상  에 대하여,   당김이 되는 사상  이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

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각종 토포스에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.

토포스 부분 대상 분류자
집합의 토포스   두 개의 원소를 가진 집합  
유한 집합의 토포스   두 개의 원소를 가진 집합  
위상 공간   위의 (집합) 의 토포스   열린집합  에 대하여, 열린 부분 집합들의 층  
작은 범주   위의 준층의 토포스   대상  에 대하여,   위의 모든 들의 집합의 준층  
토포스   및 대상  에 대하여,    의 부분 대상 분류자  에 대하여, 사영  

참고 문헌 편집

외부 링크 편집