범주 및 그 위의 대상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위의 체는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.
"체"라는 용어는 체 가 로 향하는 특정 사상들을 마치 체로 치듯 골라 내기 때문이다.
국소적으로 작은 범주 위의 대상 위의 체 는 표현 가능 준층 의 부분 준층이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 준층 이다.
- 모든 에 대하여,
- 모든 에 대하여,
범주 위의 대상 위의 체는 다음 조건들을 만족시키는, 의 사상들의 모임 이다.
- 에 속하는 모든 사상 의 공역이 이다.
- (합성에 대한 닫힘) 임의의 사상 및 에 대하여, 만약 라면 이다.
두 정의는 다음과 같이 대응된다.
추상적 정의 |
구체적 정의
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대상 에 대하여, |
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사상 에 대하여, |
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여기서 은 사상의 정의역이다. 즉, 는 체에 속한 사상 가운데, 정의역이 인 사상들로 구성된 부분 모임이다.
대상 위의 체 및 사상 이 주어졌을 때, 의 당김(영어: pullback) 은 다음과 같은, 위의 체이다.
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작은 범주 의 대상 에 대하여, 위의 모든 체들의 집합을 라고 하자. 그렇다면,
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는 함자
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를 이룬다. 즉, 는 위의 (집합 값의) 준층을 이룬다.
는 위의 준층의 그로텐디크 토포스 에서의 부분 대상 분류자를 이룬다.
작은 범주 가 주어졌을 때, 그 체 준층 의 부분 준층 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각 대상 에 대하여, 위의 체들의 집합 .
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의 사상 에 대하여, 이다.
이 조건은 그로텐디크 위상이 만족시키는 조건 가운데 하나이다.
위치 가 주어졌을 때, 대상 위의 각 덮개체는 체를 이룬다.
같은 공역 을 갖는 사상들의 모임 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들을 포함하는 가장 작은 체 가 존재하며, 다음과 같다.
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여기서 과 은 각각 사상의 정의역과 공역이다.
속의 임의의 사상 및 체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 의 대상 위의 다음과 같은 체를 정의할 수 있다.
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부분 순서 집합 는 작은 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 원소 위의 체는 를 상계로 갖는, 하향 닫힘 부분 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.
- (상계) 모든 에 대하여
- (하향 닫힘) 모든 에 대하여,