당김 (범주론)

범주론에서 당김(영어: pullback 풀백^[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올곱(미국 영어: fibered product, 영국 영어: fibred product)이라고 불린다.

정의

어떤 범주에서 대상 $X,Y,Z$ 및 사상

X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y

이 주어졌을 때, $X$ 와 $Y$ 의 당김 $X\times _{Z}Y$ 는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 $P$ 및 사상 $p_{1},p_{2}$ 으로 구성된다.

{\begin{matrix}P&{\overset {p_{1}}{\to }}&X\\{\scriptstyle p_{2}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\underset {g}{\to }}&Z\end{matrix}}

위와 같은 가환 그림을 당김 사각형(영어: pullback square)이라고 한다. 이 그림에서, $f$ 를 $g$ 에 대한 당김 또는 밑 변환(-變換, 영어: base change)이라고 한다.

이는 범주론적 극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 $P'$ 및 사상 $p'_{1}\colon P'\to X$ , $p'_{2}\colon P'\to Y$ 에 대하여, 만약 $f\circ p'_{1}=g\circ p'_{2}$ 라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 $u\colon P'\to P$ 가 유일하게 존재한다.

{\begin{matrix}&&P'\\^{p'_{1}}&\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !u&\searrow &^{p'_{2}}\\X&\leftarrow &P&\rightarrow &Y\\_{f}&\searrow &&\swarrow &_{g}\\&&Z\end{matrix}}

만약 $X=Y$ 이며 $f=g$ 일 경우, $X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {f}}X$ 의 당김은 핵쌍(核雙, 영어: kernel pair)이라고 한다.

밑 변환

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 사상에 대한 어떤 성질 ${\mathfrak {P}}$ 가 주어졌다고 하자. (즉, ${\mathcal {C}}$ 의 사상들의 모임 ${\mathfrak {P}}\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})$ 가 주어졌다고 하자.)

만약 모든 ${\mathfrak {P}}$ 사상 $f\colon X\to Y$ 및 임의의 사상 $Y'\to Y$ 에 대하여 밑 변환 $f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'$ 역시 ${\mathfrak {P}}$ 사상이라면, ${\mathfrak {P}}$ 를 밑 변환에 대하여 안정적인 성질(영어: property invariant under base change)이라고 한다.

밑 변환에 대하여 불안정한 성질 ${\mathfrak {P}}$ 에 대하여, 보편 ${\mathfrak {P}}$ 사상(영어: universally ${\mathfrak {P}}$ morphism)은 다음 조건을 만족시키는 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

임의의 사상 $Y'\to Y$ 에 대하여, 밑 변환 $f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'$ 은 ${\mathfrak {P}}$ 사상이다.

범주 ${\mathcal {C}}$ 가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 밑 변환에 의하여, 임의의 사상 $f\colon B'\to B$ 에 대하여 조각 범주 사이의 함자

f^{*}\colon {\mathcal {C}}/B\to {\mathcal {C}}/B'

가 존재하며, 이는 조각 범주의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

f^{*}\colon (X\to B)\mapsto (X\times _{B}B'\to B')

f^{*}\colon {\begin{pmatrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \\Y&\to &B\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}X\times _{B}B'\\{\scriptstyle f^{*}g}\downarrow &\searrow \\Y\times _{B}B'&\to &B\end{pmatrix}}

여기서 사상 $X\times _{B}B'\to Y\times _{B}B'$ 는 다음과 같이, 당김 보조정리에 의하여 존재한다.

{\begin{matrix}X\times _{B}B'&\cong &X\times _{Y}(Y\times _{B}B')&\to &Y\times _{B}B'&\to &B'\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&X&\to &Y&\to &B\end{matrix}}

즉, 왼쪽·오른쪽 사각형이 둘 다 당김 사각형이므로 전체 사각형 역시 당김 사각형이며, $X\times _{Y}(Y\times _{B}B')\cong X\times _{B}B'$ 이 된다.

만약 ${\mathcal {C}}$ 가 토포스라면, 그 위의 조각 범주 ${\mathcal {C}}/B$ , ${\mathcal {C}}/B'$ 역시 토포스이며, 밑 변환 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}

또한, $(f_{!},f^{*},f_{*})$ 는 토포스 사이의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

성질

곱과의 관계

(유한) 곱과 동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱

X{\xleftarrow {\pi _{X}}}X\times Y{\xrightarrow {\pi _{Y}}}Y

이 주어졌을 때,

X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y

의 당김은

X\times Y{\xrightarrow[{g\circ \pi _{Y}}]{f\circ \pi _{X}}}Z

의 동등자이다. 반대로, 당김과 곱이 존재하는 범주에서는 동등자가 존재한다.

만약 $1$ 이 끝 대상일 경우, $X\times _{1}Y\cong X\times Y$ 이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

당김 사각형의 붙임

다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

{\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet &\to &\bullet \\\end{matrix}}

이 그림에서, 왼쪽 사각형 · 오른쪽 사각형 · 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 고려할 수 있다. 그렇다면, 당김 보조정리(영어: pullback lemma)에 따르면 다음이 성립한다.

오른쪽 사각형이 당김 사각형이라고 가정했을 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것은 전체 사각형이 당김 사각형인 것과 동치이다.

그러나 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 갈랐을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.)

즉, 다음과 같은 경우가 가능하다. (표에서 "예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우이다.)

오른쪽	왼쪽	전체	가능?
예	예	예	가능
예	예	아니오	불가능
예	아니오	예	불가능
예	아니오	아니오	가능
아니오	예	예	가능
아니오	예	아니오	가능
아니오	아니오	예	가능
아니오	아니오	아니오	가능

예

대수적 범주

대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 올곱으로 불린다. 다음과 같은 대수 구조 및 준동형

X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y

의 당김은 다음과 같다.

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\in Z\}=\bigsqcup _{z\in Z}f^{-1}(z)\times g^{-1}(z)\subset X\times Y

이 경우 사상 $X\times _{Z}Y\to X$ , $X_{\times }ZY\to Y$ 는 자연스러운 사영 함수 $(x,y)\mapsto x$ , $(x,y)\mapsto y$ 이다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 는 아무런 연산을 갖지 않는 대수 구조이므로 당김이 존재한다. 마찬가지로, 군의 범주 $\operatorname {Grp}$ , 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$ , 유사환의 범주 $\operatorname {Rng}$ , 환의 범주 $\operatorname {Ring}$ , 가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$ 등에서도 모두 당김이 존재한다.