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순서론에서, 공종 집합(共終集合, 영어: cofinal set)은 그 하폐포가 전체 집합인, 원순서 집합부분 집합이다.

정의편집

원순서 집합  공종 집합(共終集合, 영어: cofinal set)  

 

가 성립하는 부분 집합이다. 여기서  하폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.

 

마찬가지로, 원순서 집합  공시작 집합(共始作共終, 영어: coinitial set)  

 

가 성립하는 부분 집합이다. 여기서  상폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.

 

원순서 집합  의 공종 집합 및 공시작 집합들은 각각 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이들을 각각   로 나타내자.

성질편집

추이성편집

원순서 집합  의 두 부분 집합  에 대하여,

  • 만약   의 공종 집합이며   의 공종 집합이라면   의 공종 집합이다.
  • 만약   의 공시작 집합이며   의 공시작 집합이라면   의 공시작 집합이다.

극대 · 극소 공종 집합편집

그렇다면,   최대 원소 이다. 또한, 공종 집합들의 족의 합집합은 공종 집합이며, 공시작 집합들의 족의 합집합은 공시작 집합이다. 따라서, 원순서 집합  에 대하여    둘 다 모든 상한을 갖는다.

그러나 두 공종 집합의 교집합은 공종 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 자연수전순서 집합  에서, 짝수의 집합  홀수의 집합  은 각각 공종 집합이지만, 그 교집합공집합은 공종 집합이 아니다.

원순서 집합  이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 임의의  에 대하여,  와 비교 가능한 극대 원소  가 존재한다.

그렇다면,  의 부분 집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 공종 집합이다.
  • 임의의 극대 원소  에 대하여,   가 존재한다. 즉,  이다.

특히,  가 추가로 부분 순서 집합이라면,  의 최소 원소는   (즉,  의 최대 원소들의 집합)이다.

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자연수전순서 집합  부분 집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 공종 집합이다.
  •  무한 집합이다.

전순서 집합  부분 집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 공종 집합이다.
  • 만약  최대 원소  를 갖는다면,  이다. 만약  최대 원소를 갖지 않는다면,  상계를 갖지 않는다.

외부 링크편집