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대수기하학에서, 교차수(交叉數, 영어: intersection number)는 서로 다른 부분 대수다양체가 만나는 수를 중복도를 고려하여 센 것이다. 중복도를 적절히 고려해야지만 베주 정리 등이 성립하게 된다.

정의편집

 대수적으로 닫힌 체  에 대한 비특이 준사영 대수다양체라고 하며,  이라고 하고,  라고 하자.    개의 초곡면(여차원이 1인 부분 대수 다양체)들이며, 이들이   근처에서 국소 방정식

 

으로 정의된다고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

  •  . 즉,  이다.
  •   에서 특이점을 갖지 않는다.
  • (일반 위치 조건 영어: general position)  

이 경우,  에서의  교차수는 다음과 같다.

 

여기서   의 구조층의  에서의 줄기국소환이며,  은 이들 다항식으로 생성되는  아이디얼이다. 이 아이디얼에 대한 몫환 -벡터 공간을 이루며,   -벡터 공간으로서의 차원이다.

이제, 일반 위치에 있는  들의 교차수는 각 점에서의 교차수들의 합이다.

 

이는 유한함을 보일 수 있다.

효과적 인자들은 초곡면들의 형식적 선형 결합이므로, 일반 위치에 있는 효과적 인자의 교차수는 (일반 위치의) 초곡면들의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의 인자는 두 효과적 인자의 차로 나타낼 수 있으므로, 일반 위치에 있는 인자들의 교차수는 효과적 인자의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의 인자들의 집합은 저우 움직임 보조정리를 사용하여, 유리 동치인 일반 위치 인자로 대체할 수 있으므로, 이에 대하여 교차수를 정의할 수 있다.

참고 문헌편집

외부 링크편집