다음이 주어졌다고 하자.
2차원 다양체
Σ
{\displaystyle \Sigma }
다중 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
다중 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
X
{\displaystyle X}
그리기 는 다음 조건들을 모두 만족시키는 함수
f
:
Γ
→
X
{\displaystyle f\colon \Gamma \to X}
이다.
Γ
{\displaystyle \Gamma }
CW 복합체 위상을 주었을 때,
f
{\displaystyle f}
연속 함수 이다.임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
|
f
−
1
(
x
)
|
≤
2
{\displaystyle |f^{-1}(x)|\leq 2}
변의 교차점은 꼭짓점이 아니다. 즉,
{
x
∈
X
:
|
f
−
1
(
x
)
|
=
2
}
∩
f
(
V
(
Γ
)
)
=
∅
{\displaystyle \{x\in X\colon |f^{-1}(x)|=2\}\cap f(\operatorname {V} (\Gamma ))=\varnothing }
임의의 두 변의 교차점은 유한 개이다. 즉, 임의의 두 변
e
,
f
∈
E
(
Γ
)
{\displaystyle e,f\in \operatorname {E} (\Gamma )}
{
(
s
,
t
)
:
f
(
s
)
=
f
(
t
)
,
s
∈
t
,
t
∈
t
}
{\displaystyle \{(s,t)\colon f(s)=f(t),\;s\in t,t\in t\}}
유한 집합 이다. (
e
≠
f
{\displaystyle e\neq f}
임의의 교차점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
↾
U
=
ι
V
∘
f
~
∘
ι
U
{\displaystyle f\upharpoonright U=\iota _{V}\circ {\tilde {f}}\circ \iota _{U}}
U
,
V
,
ι
U
,
ι
V
{\displaystyle U,V,\iota _{U},\iota _{V}}
U
⊆
Γ
{\displaystyle U\subseteq \Gamma }
열린집합 이다.
V
⊆
X
{\displaystyle V\subseteq X}
열린집합 이다.
ι
V
:
D
2
→
X
{\displaystyle \iota _{V}\colon \mathbb {D} ^{2}\to X}
V
{\displaystyle V}
위상 동형 이다.
ι
U
:
(
−
1
,
1
)
⊔
(
−
1
,
1
)
→
U
{\displaystyle \iota _{U}\colon (-1,1)\sqcup (-1,1)\to U}
열린구간 의 분리합집합 에서
U
{\displaystyle U}
위상 동형 이다. 여기서
f
~
:
(
−
1
,
1
)
⊔
(
−
1
,
1
)
→
D
2
{\displaystyle {\tilde {f}}\colon (-1,1)\sqcup (-1,1)\to \mathbb {D} ^{2}}
(
−
1
,
1
)
⊔
(
−
1
,
1
)
≅
(
−
1
,
1
)
×
{
x
,
y
}
{\displaystyle (-1,1)\sqcup (-1,1)\cong (-1,1)\times \{{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}\}}
f
(
t
,
x
)
=
(
0
,
t
)
{\displaystyle f(t,{\mathsf {x}})=(0,t)}
f
(
t
,
y
)
=
(
t
,
0
)
{\displaystyle f(t,{\mathsf {y}})=(t,0)}
특히, 유한 그래프 의 그리기는 유한 개의 꼭짓점을 갖는다.
다중 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
f
:
X
→
Γ
{\displaystyle f\colon X\to \Gamma }
교차수 는 기수
|
{
x
∈
X
:
|
f
−
1
(
x
)
|
=
2
}
|
{\displaystyle |\{x\in X\colon |f^{-1}(x)|=2\}|}
이다. 다중 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
교차수 는 평면
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
cr
(
Γ
)
{\displaystyle \operatorname {cr} (\Gamma )}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
cr
Σ
(
Γ
)
{\displaystyle \operatorname {cr} _{\Sigma }(\Gamma )}
교차수가 0인 그래프 그리기를 그래프 매장 (埋藏, 영어 : graph embedding )이라고 한다. 다중 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
종수 (種數, 영어 : genus )는
Γ
{\displaystyle \Gamma }
연결 콤팩트 2차원 유향 다양체
(
T
2
)
#
g
{\displaystyle (\mathbb {T} ^{2})^{\#g}}
g
∈
N
{\displaystyle g\in \mathbb {N} }
genus
(
Γ
)
=
min
{
g
∈
N
:
cr
(
T
2
)
#
g
(
Γ
)
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {genus} (\Gamma )=\min \left\{g\in \mathbb {N} \colon \operatorname {cr} _{(\mathbb {T} ^{2})^{\#g}}(\Gamma )=0\right\}}
교차수 부등식
편집
모든 평면 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
cr
(
Γ
)
=
genus
(
Γ
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {cr} (\Gamma )=\operatorname {genus} (\Gamma )=0}
완전 그래프
편집
완전 그래프 의 교차수는 아직 완전히 알려지지 않있다. 다만, 다음과 같은 부등식이 알려져 있다.
cr
(
K
n
)
≤
1
4
⌊
n
2
⌋
⌊
n
−
1
2
⌋
⌊
n
−
2
2
⌋
⌊
n
−
3
2
⌋
{\displaystyle \operatorname {cr} (K_{n})\leq {\frac {1}{4}}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-3}{2}}\right\rfloor }
이 부등식은
n
≤
12
{\displaystyle n\leq 12}
n
>
12
{\displaystyle n>12}
유한 완전 그래프 의 종수는 다음과 같다. (OEIS 의 수열 A933 )
genus
(
K
n
)
=
{
⌈
(
n
−
3
)
(
n
−
4
)
/
12
⌉
n
≥
3
0
n
≤
4
{\displaystyle \operatorname {genus} (K_{n})={\begin{cases}\left\lceil (n-3)(n-4)/12\right\rceil &n\geq 3\\0&n\leq 4\end{cases}}}
K
3
{\displaystyle K_{3}}
는
평면 그래프 이다. 즉, 그 교차수와 종수는 0이다.
K
4
{\displaystyle K_{4}}
는
평면 그래프 이다. 즉, 그 교차수와 종수는 0이다.
K
5
{\displaystyle K_{5}}
(왼쪽)의 교차수는 1이며,
K
3
,
4
{\displaystyle K_{3,4}}
(오른쪽)의 교차수는 2이다.
완전 이분 그래프
편집
완전 이분 그래프 의 교차수는 아직 완전히 알려지지 않있다. 다만, 다음과 같은 상계 가 알려져 있다.
cr
(
K
m
,
n
)
≤
⌊
m
2
⌋
⌊
m
−
1
2
⌋
⌊
n
2
⌋
⌊
n
−
1
2
⌋
{\displaystyle \operatorname {cr} (K_{m,n})\leq \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }
상계 의 증명
K
m
,
n
{\displaystyle K_{m,n}}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
그래프 색칠 을 부여하자. 그렇다면, 유클리드 평면에 이들을 다음과 같이 배열한다.
m
{\displaystyle m}
x
{\displaystyle x}
(
−
⌊
m
/
2
⌋
,
0
)
,
…
,
(
−
2
,
0
)
,
(
−
1
,
0
)
,
(
1
,
0
)
,
(
2
,
0
)
,
…
,
(
⌈
m
/
2
⌉
,
0
)
{\displaystyle (-\lfloor m/2\rfloor ,0),\dotsc ,(-2,0),(-1,0),(1,0),(2,0),\dotsc ,(\lceil m/2\rceil ,0)}
n
{\displaystyle n}
y
{\displaystyle y}
(
0
,
−
⌊
n
/
2
⌋
)
,
…
,
(
0
,
−
2
)
,
(
0
,
−
1
)
,
(
0
,
1
)
,
(
0
,
2
)
,
…
,
(
0
,
⌈
n
/
2
⌉
)
{\displaystyle (0,-\lfloor n/2\rfloor ),\dotsc ,(0,-2),(0,-1),(0,1),(0,2),\dotsc ,(0,\lceil n/2\rceil )}
이제, 이를 이으면 평면 속의
K
m
,
n
{\displaystyle K_{m,n}}
이 그리기의 교차수는 다음과 같다. 우선, 제1 사분면 에서, 변
(
a
,
0
)
−
(
0
,
b
)
{\displaystyle (a,0)-(0,b)}
(
a
′
,
0
)
−
(
0
,
b
′
)
{\displaystyle (a',0)-(0,b')}
필요 충분 조건 은
(
a
−
a
′
)
(
b
−
b
′
)
<
0
{\displaystyle (a-a')(b-b')<0}
|
{
(
a
,
a
′
,
b
,
b
′
)
:
0
<
a
<
a
′
≤
⌈
m
2
⌉
,
0
<
b
′
<
b
≤
⌈
n
2
⌉
}
|
=
(
1
+
2
+
⋯
+
⌈
m
2
−
1
⌉
)
(
1
+
2
+
⋯
+
⌈
n
2
−
1
⌉
)
=
1
4
⌈
m
2
−
1
⌉
⌈
m
2
⌉
⌈
n
2
−
1
⌉
⌈
n
2
⌉
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\left\{(a,a',b,b')\colon 0<a<a'\leq \left\lceil {\frac {m}{2}}\right\rceil ,0<b'<b\leq \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil \right\}\right|&=\left(1+2+\dotsb +\left\lceil {\frac {m}{2}}-1\right\rceil \right)\left(1+2+\dotsb +\left\lceil {\frac {n}{2}}-1\right\rceil \right)\\&={\frac {1}{4}}\left\lceil {\frac {m}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {m}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {n}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil \end{aligned}}}
이다. 나머지 사분면 들도 마찬가지로 계산된다. 즉, 이 그래프 그리기의 교차점의 수는 다음과 같다.
cr
(
K
m
,
n
)
≤
1
4
(
⌈
m
2
−
1
⌉
⌈
m
2
⌉
+
⌊
m
2
−
1
⌋
⌊
m
2
⌋
)
(
⌈
n
2
−
1
⌉
⌈
n
2
⌉
+
⌊
n
2
−
1
⌋
⌊
n
2
⌋
)
=
⌊
m
2
⌋
⌊
m
−
1
2
⌋
⌊
n
2
⌋
⌊
n
−
1
2
⌋
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cr} (K_{m,n})&\leq {\frac {1}{4}}\left(\left\lceil {\frac {m}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {m}{2}}\right\rceil +\left\lfloor {\frac {m}{2}}-1\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \right)\left(\left\lceil {\frac {n}{2}}-1\right\rceil \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil +\left\lfloor {\frac {n}{2}}-1\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \right)\\&=\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \end{aligned}}}
또한, 이 부등식이 등식이 될 다음과 같은 충분 조건 이 알려져 있다.
min
{
m
,
n
}
≤
6
{\displaystyle \min\{m,n\}\leq 6}
[3]
7
=
min
{
m
,
n
}
≤
max
{
m
,
n
}
≤
9
{\displaystyle 7=\min\{m,n\}\leq \max\{m,n\}\leq 9}
[4] 자란키에비치 추측 (Zarankiewicz推測, 영어 : Zarankiewicz conjecture )에 따르면, 이 부등식이 항상 등식이 된다고 추측되지만, 이는 미해결 난제이다.
유한 완전 이분 그래프 의 종수는 다음과 같다.
genus
(
K
m
,
n
)
=
{
⌈
(
m
−
2
)
(
n
−
2
)
/
4
⌉
min
{
m
,
n
}
≥
2
0
min
{
m
,
n
}
≤
2
{\displaystyle \operatorname {genus} (K_{m,n})={\begin{cases}\left\lceil (m-2)(n-2)/4\right\rceil &\min\{m,n\}\geq 2\\0&\min\{m,n\}\leq 2\end{cases}}}
K
1
,
4
{\displaystyle K_{1,4}}
의 교차수는 0이다.
K
2
,
2
{\displaystyle K_{2,2}}
의 교차수는 0이다.
K
2
,
3
{\displaystyle K_{2,3}}
의 교차수는 0이다.
K
3
,
3
{\displaystyle K_{3,3}}
의 교차수는 1이다.
K
4
,
7
{\displaystyle K_{4,7}}
의 교차수는 18이다.
일반화 페테르센 그래프
편집
각기둥 그래프
GPG
(
n
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (n,1)}
평면 그래프 이므로, 교차수와 종수가 0이다.
GPG
(
6
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (6,2)}
평면 그래프 이다.
페테르센 그래프
GPG
(
5
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}
일반화 페테르센 그래프
GPG
(
8
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)}
데자르그 그래프
GPG
(
10
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (10,3)}
나우루 그래프
GPG
(
12
,
5
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}
평면 그래프 가 아니다.
팔각 기둥 그래프
GPG
(
8
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (8,1)}
은
평면 그래프 이므로, 그 교차수와 종수는 0이다.
페테르센 그래프
GPG
(
5
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (5,2)}
의 교차수는 2이다.
나우루 그래프
GPG
(
12
,
5
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (12,5)}
의 교차수는 8이다.
GPG
(
8
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)}
의,
원환면
T
2
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
속의 매장. 따라서,
GPG
(
8
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {GPG} (8,3)}
의 종수는 1이다.
하나니-텃 정리는 하임 하나니(히브리어 : חַיִּים חַנַנִי , 舊名 폴란드어 : Chaim Chojnacki 하임 호이나츠키[* ] , 1912~1991)가 1934년에 증명하였으나, 하나니는 이를 논문에 매우 간접적으로 언급하였다.[5] 윌리엄 토머스 텃 이 이 정리를 (직접적으로) 다시 언급하였다.[6]
헝가리의 한 벽돌 공장의 철로 카지미에시 자란키에비치(폴란드어 : Kazimierz Zarankiewicz ). 1935년 사진 카지미에시 우르바니크(폴란드어 : Kazimierz Urbanik ). 1981년 사진 완전 이분 그래프 의 교차수를 계산하는 문제는 투란 팔 이 1944년에 최초로 제시하였다.[7] [8]
“
1944년 7월에는 [추축국 의 유대인 으로서] 부다페스트 안에서는 강제 추방의 위험이 팽배하였으며, 부다페스트 밖에서는 현재 진행형이었다. 우리는 부다페스트 근교의 벽돌 공장에서 노역(奴役)을 당하였다. 벽돌 가마들은 저장고들과 철로로 연결되었다. 벽돌은 작은 트롤리에 실려 저장고로 이동되었다. […] 문제는 철로의 교차점에서였다. 트롤리들은 교차점에서 탈선하기 일쑤였으며, 이 경우 벽돌들이 모두 쏟아지게 되었다. […] 갑자기 나는 불쑥 다음과 같은 아이디어를 떠올렸다. ‘교차점의 수를 최소화하면, 이러한 문제는 최소화될 것이다. 그런데 교차점의 수의 최솟값은 얼마일까?’ […]
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
폴란드 를 방문하여 자란키에비치를 만났으며, 그에게 “벽돌 공장” 문제를 언급하였다. […])
In July 1944 the danger of deportation was real in Budapest, and a reality outside Budapest. We worked near Budapest, in a brick factory. There were some kilns where the bricks were made and some open storage yards where the bricks were stored. All the kilns were connected by rail with all the storage yards. The bricks were carried on small wheeled trucks to the storage yeards [sic ]. […] [T]he trouble was only at the crossings. The trucks generally jumped the rails there, and the bricks fell out of them; […] nolens–volens the idea occurred to me that this loss of time could have been minimized if the number of crossings of the rails had been minimized. But what is the minimum number of crossings? […] [T]he exact solution of the general problem with m kilns and n storage yards seemed to be very difficult and again I postponed my study of it to times when my fears for my family would end. (But the problem occurred to me again not earlier than 1952, at my first visit to Poland where I met Zarankiewicz. I mentioned to him my “brick-factory”-problem […])
”
투란에게서 이 문제를 들은 카지미에시 자란키에비치(폴란드어 : Kazimierz Zarankiewicz , 1902~1959)[10] 폴란드어 : Kazimierz Urbanik , 1930~2005)[11] 상계 만을 증명한다는 것이 밝혀졌다.[12]
교차수 부등식은 1980년대 초에 어이터이 미클로시(헝가리어 : Ajtai Miklós , 1946~) · 바츨라프 흐바탈(체코어 : Václav Chvátal , 1946~) · 몬로 몬티 뉴본(영어 : Monroe Monty Newborn , 1938~) · 세메레디 엔드레 [13] 영어 : Frank Thomson Leighton , 1956~)[14] [2]
참고 문헌
편집
↑ Schaefer, Marcus (2014년 5월 15일). “The graph crossing number and its variants: a survey” . 《The Electronic Journal of Combinatorics》 (영어) DS : 21. ↑ 가 나 Ackerman, Eyal (2013). “On topological graphs with at most four crossings per edge” (영어). arXiv :1509.01932 . Bibcode :2015arXiv150901932A . ↑ Kleitman, Daniel J. (1970). “The crossing number of K 5,n ”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 9 : 315–323. doi :10.1016/s0021-9800(70)80087-4 . MR 0280403 . ↑ Woodall, D. R. (1993년 12월). “Cyclic-order graphs and Zarankiewicz's crossing-number conjecture”. 《Journal of Graph Theory》 (영어) 17 (6): 657–671. doi :10.1002/jgt.3190170602 . ISSN 0364-9024 . MR 1244681 . ↑ Chojnacki, Chaim (1934). “Über wesentlich unplättbare Kurven im dreidimensionalen Raume” . 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 23 (1): 135–142. ISSN 0016-2736 . JFM 60.0528.02 . Zbl 0009.41104 . ↑ Tutte, William Thomas (1970). “Toward a theory of crossing numbers”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 8 : 45–53. doi :10.1016/s0021-9800(70)80007-2 . MR 0262110 . Zbl 0187.20803 . ↑ Beineke, Lowell; Wilson, Robin (2010년 6월). “The early history of the brick factory problem”. 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 32 (2): 41–48. doi :10.1007/s00283-009-9120-4 . ↑ Székely, László A. (2016). 〈Turán’s brick factory problem: the status of the conjectures of Zarankiewicz and Hill〉. Gera, Ralucca; Hedetniemi, Stephen; Larson, Craig. 《Graph theory: favorite conjectures and open problems 1》. Problem Books in Mathematics (영어). 211–230쪽. doi :10.1007/978-3-319-31940-7_13 . ISBN 978-3-319-31938-4 ISSN 0941-3502 . ↑ Turán, Pál (1977). “A note of welcome”. 《Journal of Graph Theory》 (영어) 1 : 7–9. doi :10.1002/jgt.3190010105 . ↑ Zarankiewicz, Kazimierz (1954). “On a problem of P. Turan concerning graphs” . 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 41 : 137–145. ISSN 0016-2736 . MR 63641 . Zbl 0055.41605 . ↑ Urbanik, Kazimierz (1953년 1월 2일). “Solution du problème posé par P. Turán” (PDF) . 《Colloquium Mathematicum》 (프랑스어) 3 : 200–201. ISSN 0010-1354 . ↑ Guy, Richard Kenneth (1969). 〈The decline and fall of Zarankiewicz’s theorem〉. Harary, Frank. 《Proof techniques in graph theory. Proceedings of the Second Ann Arbor Graph Theory Conference 1968》 (영어). Academic Press. 63–69쪽. ISBN 978-012324260-0 Zbl 0192.60601 . ↑ Ajtai, Miklós; Chvátal, Václav; Newborn, Monroe Monty; Szemerédi, Endre (1982). 〈Crossing-free subgraphs〉. Rosa, Alexander; Sabidussi, Gert; Turgeon, Jean. 《Theory and practice of combinatorics. A collection of articles honoring Anton Kotzig on the occasion of his sixtieth birthday》. Annals of Discrete Mathematics (영어) 12 . North-Holland. 9–12쪽. doi :10.1016/S0304-0208(08)73484-4 . ISBN 978-0-444-86318-8 MR 806962 . Zbl 0502.05021 . ↑ Leighton, Frank Thomson (1983). 《Complexity issues in VLSI. Optimal layouts for the shuffle-exchange graph and other networks》 . Foundations of Computing Series (영어). Massachusetts Institute of Technology Press. ISBN 978-0-262-62178-6
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