비에트 정리

(근과 계수의 관계에서 넘어옴)

대수학에서, 비에트 정리(영어: Viète’s theorem) 또는 근과 계수의 관계다항 방정식에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.

정의편집

음이 아닌 정수  에 대하여,  복소수 다항식

 

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면)  개의 영점  를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각  에 대하여, 영점   기본 대칭 다항식에 대입한 값은  과 같다.

 

즉, 다음  개의 등식이 성립한다.

 
 
 
 
 

증명편집

다음 등식 양끝의 다항식의 각  의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.

 

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일차 방정식편집

(일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식

 

은 유일한 복소수 해

 

를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.

이차 방정식편집

(이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식

 

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을  라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 

삼차 방정식편집

(삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식

 

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을  이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 
 

사차 방정식편집

(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식

 

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을  라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 
 
 

역사편집

프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다.[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.[2]

각주편집

  1. Viète, François (1646). van Schooten, Frans, 편집. 《Opera mathematica》 (라틴어). Leiden: Ex Officinâ Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum. 
  2. Girard, Albert (1884). Bierens de Haan, David, 편집. 《Invention nouvelle en l'algèbre》 (프랑스어). Leiden: Imprimé chez Muré frères. 

외부 링크편집