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비에트 정리

(근과 계수의 관계에서 넘어옴)

대수학에서, 비에트 정리(영어: Viète's theorem) 또는 근과 계수의 관계다항 방정식에 대한 기본 대칭 다항식과 방정식의 계수의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.

정의편집

임의의  복소수 다항식

 

대수학의 기본 정리에 따라 항상  개의 영점  을 갖는다. 이들 계수와 영점 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리라고 한다.

 

자명하지 않은 경우( )를 풀어 쓰면 다음과 같다.

 
 
 
 

비에트 정리는 근을 직접 구하지 않고서도 알 수 있는, 다항 방정식의 근과 계수의 한 가지 관계를 제시한다. 특히, 근의 공식이 존재하지 않는 5차 이상의 방정식의 경우에 유용하다. 사실, 다항식의 영점들은 그 일차 다항식 분해에 대응하므로, 비에트 정리는 일차 다항식들의 곱을 전개하는 공식과 다름 없다.

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일차 방정식편집

일차항 계수가 0이 아닌 일차 방정식

 

의 근은 다음과 같이 유일하다.

 

따라서 비에트 정리는 자명하게 성립한다. 그리고 쉽다.(일차방정식만)

이차 방정식편집

이차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

 

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 

삼차 방정식편집

삼차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

 

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 
 

사차 방정식편집

사차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

 

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 
 
 

역사편집

프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였으며,[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.[2]

각주편집

  1. Viète, François (1646). Schooten, Frans van, 편집. 《Opera mathematica》 (라틴어). Elsevier. 
  2. Girard, Albert (1884). Haan, Bierens de, 편집. 《Invention nouvelle en l'algèbre》 (프랑스어). Leiden. 

외부 링크편집