비에트 정리

(근과 계수의 관계에서 넘어옴)

대수학에서, 비에트 정리(영어: Viète's theorem) 또는 근과 계수의 관계다항 방정식에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.

정의편집

음이 아닌 정수  ,  에 대하여,   변수  기본 대칭 다항식이라고 하자.

음이 아닌 정수  에 대하여,  복소수 다항식

 

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면)  개의 영점  를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 다음  개의 등식이 성립한다.

 
 
 
 
 
 
 

증명편집

다음 등식 양끝의 다항식의 계수를 비교하여 얻는다.

 

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일차 방정식편집

(일차항 계수가 0이 아닌) 일차 방정식

 

은 다음과 같은 유일한 해를 갖는다.

 

이 경우 비에트 정리는 위 등식과 같다.

이차 방정식편집

(이차항 계수가 0이 아닌) 이차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

 

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 

삼차 방정식편집

(삼차항 계수가 0이 아닌) 삼차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

 

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 
 

사차 방정식편집

(사차항 계수가 0이 아닌) 사차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

 

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

 
 
 
 

역사편집

프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다.[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.[2]

각주편집

  1. Viète, François (1646). van Schooten, Frans, 편집. 《Opera mathematica》 (라틴어). Leiden: Ex Officinâ Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum. 
  2. Girard, Albert (1884). Bierens de Haan, David, 편집. 《Invention nouvelle en l'algèbre》 (프랑스어). Leiden: Imprimé chez Muré frères. 

외부 링크편집