임의의 집합
S
{\displaystyle S}
에 대하여, 이를 정규 직교 기저 로 갖는 힐베르트 공간
H
=
ℓ
2
(
S
)
{\displaystyle H=\ell ^{2}(S)}
을 생각하자. 이 공간이 분해 가능 공간 일 필요 충분 조건 은
S
{\displaystyle S}
가 가산 집합 인 것이다.
이제, 어떤 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
에 대하여, 다음과 같은 집합족을 생각하자.
S
(
κ
)
⊆
Pow
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\kappa )\subseteq \operatorname {Pow} (H)}
S
(
κ
)
=
{
π
A
−
1
(
T
)
:
A
⊆
S
,
|
A
|
<
κ
,
T
∈
Borel
(
ℓ
2
(
A
)
)
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\kappa )=\{\pi _{A}^{-1}(T)\colon A\subseteq S,\;|A|<\kappa ,\;T\in \operatorname {Borel} (\ell ^{2}(A))\}}
여기서
π
A
:
ℓ
2
(
S
)
→
ℓ
2
(
A
)
{\displaystyle \pi _{A}\colon \ell ^{2}(S)\to \ell ^{2}(A)}
는 자연스러운 사영 사상이다.
Borel
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {Borel} (-)}
은 보렐 시그마 대수 이다.
그렇다면,
정의에 따라
S
(
ℵ
0
)
=
Cyl
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\aleph _{0})=\operatorname {Cyl} (H)}
이다.
S
(
ℵ
1
)
=
σ
(
Cyl
(
H
)
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\aleph _{1})=\sigma (\operatorname {Cyl} (H))}
이다.[1] :Exercise 4.5
자명하게
S
(
|
S
|
+
)
=
Borel
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(|S|^{+})=\operatorname {Borel} (H)}
이다. 여기서
|
S
|
+
{\displaystyle |S|^{+}}
는
S
{\displaystyle S}
바로 다음의 기수 이다.
특히, 유한 차원 힐베르트 공간(=유클리드 공간 ,
|
S
|
<
ℵ
0
{\displaystyle |S|<\aleph _{0}}
)의 경우
Cyl
(
R
n
)
=
σ
(
Cyl
(
R
n
)
)
=
Borel
(
R
n
)
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (\mathbb {R} ^{n})=\sigma (\operatorname {Cyl} (\mathbb {R} ^{n}))=\operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n})}
이며, 분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간(
|
S
|
=
ℵ
0
{\displaystyle |S|=\aleph _{0}}
)의 경우
Cyl
(
H
)
⊊
σ
(
Cyl
(
H
)
)
=
Borel
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)\subsetneq \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)}
이지만, 분해 불가능 힐베르트 공간의 경우
Cyl
(
H
)
⊊
σ
(
Cyl
(
H
)
)
⊊
Borel
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)\subsetneq \sigma (\operatorname {Cyl} (H))\subsetneq \operatorname {Borel} (H)}
이다.
↑ 가 나 다 Eldredge, Nathan (2016). “Analysis and probability on infinite-dimensional spaces”. arXiv :1607.03591 .