위상 벡터 공간

수학에서 위상 벡터 공간(位相vector空間, 영어: topological vector space, 약자 TVS)은 호환되는 위상이 주어진 벡터 공간이다.

정의

$K$가 위상환이라고 하자. 그렇다면 $K$-위상 왼쪽 가군(영어: topological left $K$-module) $V$는 다음 두 성질을 만족시키는, 위상 공간의 구조를 가지는 $K$-왼쪽 가군이다.

• (덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 $+\colon V\times V\to V$는 연속 함수다. (여기서 $V\times V$는 곱위상을 갖춘다.)
• (스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 $\cdot \colon K\times V\to V$는 연속 함수다. (여기서 $K\times V$는 곱위상을 갖춘다.)

마찬가지로 $K$-위상 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 물론, $K$가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

만약 $K$가 위상체라면, $V$를 $K$-위상 벡터 공간이라고 한다. (월터 루딘과 같은 일부 저자들은 여기에 T₁ 공간 조건을 추가하기도 한다.)

모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 특히 아벨 위상군이므로, 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다. 이 경우, 덧셈과 스칼라곱이 사실 균등 연속 함수임을 보일 수 있다.

위상 벡터 공간의 부분 집합

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

$\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $V$ 속의 부분 집합 $E\subseteq V$에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

개념	정의
균형 집합(均衡集合, 영어: balanced set)	임의의 스칼라 $t\in \mathbb {K}$, $|t|\leq 1$에 대하여 $tE\subseteq E$
유계 집합	임의의 0의 근방 $U\ni 0$에 대하여, $tU\supseteq E$인 스칼라 $t\in \mathbb {K}$가 존재
흡수 집합(吸收集合, 영어: absorbing set)	$\forall v\in V\exists r\in \mathbb {R} ^{+}\forall t\in \mathbb {K} \colon (|t|\geq r\implies v\in tE)$

특히, 위와 같은 유계 집합의 정의를 통해, 모든 $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간은 유계형 집합을 이룬다.

연산

연속 쌍대 공간

 이 부분의 본문은 연속 쌍대 공간입니다.

위상환 $K$에 대한 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$이 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 $_{K}V\to {}_{K}K$들의 집합은 $K$-위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 $V$의 연속 쌍대 가군 $V'_{K}$이라고 한다. 만약 $K$가 위상체일 경우, 이는 연속 쌍대 공간이라고 한다.

이는 (대수적) 쌍대 공간보다 일반적으로 더 작다.

약한 위상

위상 벡터 공간 (또는 위상 가군) 위에는 항상 원래 위상보다 더 엉성한 특별한 위상을 표준적으로 줄 수 있으며, 이를 약한 위상(弱한位相, 영어: weak topology)이라고 한다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 $V$의 원래 위상을 강한 위상(強한位相, 영어: strong topology)이라고 한다.

구체적으로, 위상환 $K$에 대한 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$의 연속 쌍대 가군 $V'$으로 생성되는 시작 위상을 $V$의 약한 위상이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 집합 $V$에 약한 위상을 부여한 것을 $V^{\text{weak}}$라고 표기하자.

약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다.

$\left\{\phi ^{-1}(U)\colon U\in \operatorname {Open} (K),\;\phi \in V'\right\}$

여기서 $\operatorname {Open} (K)$는 $K$의 열린집합들의 족이다.

성질

분리공리

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 분리공리들이 서로 동치이다.

• $V$는 T₁ 공간이다.
• $V$는 하우스도르프 공간이다.
• $V$는 하우스도르프 정칙 공간이다.
• $V$는 티호노프 공간이다.

즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T₁부터 T_3½(= 티호노프 공간)까지의 성질들이 서로 동치가 된다.

약한 위상

정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 엉성한 위상이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 멱등 연산이다. 즉, 임의의 위상환 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$에 대하여, 다음이 성립한다.

$V'=(V^{\text{weak}})'$

$V^{\text{weak}}=(V^{\text{weak}})^{\text{weak}}$

참고 문헌

• Grothendieck, A. (1992). 《Topological vector spaces》. Notes on Mathematics and Its Applications (영어). Orlando Chaljub 역 3판. Gordon and Breach. ISBN 0-677-30020-4. Zbl 0763.46002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Köthe, Gottfried (1969). 《Topological vector spaces I》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 159. Springer. ISBN 0-387-04509-0. Zbl 0179.17001. 
• Köthe, Gottfried (1979). 《Topological vector spaces II》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 237. Springer. Zbl 0417.46001. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2010). 《Topological vector spaces》. Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-158488866-6. 
• Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001. 

외부 링크

• “Topological vector space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Weak topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Strong topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological vector space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Topological vector space”. 《nLab》 (영어).