가환대수학에서, 기약원(旣約元, 영어: irreducible element)은 정역의 원소 가운데, 0 또는 가역원이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없는 것이다. 소원소 아이디얼과 함께, 소수의 개념의 일반화의 하나이다.

정의편집

정역  의 원소  가 다음 두 조건을 모두 만족시킨다면, 기약원이라고 한다.[1]:284

  •  는 0이 아니며, 가역원도 아니다.
  • 임의의  에 대하여, 만약  라면,   또는   가운데 적어도 하나는 가역원이다.

성질편집

정역의 원소들은 다음과 같이 네 종류로 분류된다.

  • 0
  • 가역원
  • 기약원
  • 두 개 이상의 0이 아닌 비가역원들의 곱 (이를 편의상 ‘합성원’이라고 하자)

이 종류들은 모두 서로소이다 (모든 원소는 정확하게 한 종류에 속한다).

정역에서 이들 사이의 곱셈은 다음과 같다.

× 0 가역원 기약원 합성원
0 0 0 0 0
가역원 0 가역원 기약원 합성원
기약원 0 기약원 합성원 합성원
합성원 0 가역원 합성원 합성원

함의 관계편집

정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,[1]:284, Proposition 8.11 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다.

편집

정수환  의 기약원은 ±1×소수의 꼴인 정수이다. 이 경우, 모든 정수는 다음과 같이 네 종류로 분류된다.

  • 0
  • 가역원: ±1
  • 기약원: ±소수
  • 2개 이상의 기약원의 곱: ±합성수

에서는 모든 원소가 0 또는 가역원이므로, 체는 기약원을 갖지 않는다.

다항식환  의 기약원을 기약 다항식이라고 한다.

소원이 아닌 기약원편집

유수가 1이 아닌 대수적 정수환  에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.[1]:284

 
 
 

참고 문헌편집

  1. Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003. 

외부 링크편집