기약원

가환대수학에서 기약원(旣約元, 영어: irreducible element)은 정역의 원소 가운데, 0 또는 가역원이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없는 것이다. 소원 및 소 아이디얼과 함께, 소수의 개념의 일반화의 하나이다.

정의

정역 $R$의 원소 $i\in R$가 다음 두 조건을 모두 만족시킨다면, 기약원이라고 한다.^:284

• $i$는 0이 아니며, 가역원도 아니다.
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $i=rs$라면, $r$ 또는 $s$ 가운데 적어도 하나는 가역원이다.

성질

정역의 원소들은 다음과 같이 네 종류로 분류된다.

• 0
• 가역원
• 기약원
• 두 개 이상의 0이 아닌 비가역원들의 곱 (이를 편의상 ‘합성원’이라고 하자)

이 종류들은 모두 서로소이다 (모든 원소는 정확하게 한 종류에 속한다).

정역에서 이들 사이의 곱셈은 다음과 같다.

×	0	가역원	기약원	합성원
0	0	0	0	0
가역원	0	가역원	기약원	합성원
기약원	0	기약원	합성원	합성원
합성원	0	합성원	합성원	합성원

함의 관계

정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,^{:284, Proposition 8.11} 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다.

예

정수환 $\mathbb {Z}$의 기약원은 ±1×소수의 꼴인 정수이다. 이 경우, 모든 정수는 다음과 같이 네 종류로 분류된다.

• 0
• 가역원: ±1
• 기약원: ±소수
• 2개 이상의 기약원의 곱: ±합성수

체에서는 모든 원소가 0 또는 가역원이므로, 체는 기약원을 갖지 않는다.

다항식환 $K[x]$의 기약원을 기약 다항식이라고 한다.

소원이 아닌 기약원

유수가 1이 아닌 대수적 정수환 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.^:284

$3\mid 9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {5}})$

$3\nmid 2+{\sqrt {-5}}$

$3\nmid 2-{\sqrt {-5}}$

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.