기약 다항식

수학에서 기약 다항식(旣約多項式, 영어: irreducible polynomial)은 더 낮은 차수의 다항식의 곱으로 표시되지 않는 다항식으로, 더 이상 인수분해가 되지 않는 다항식이 이에 포함된다.

정의편집

$R$ 가 정역이라고 하자.

차수 1 이상의 다항식 $p(x)\in R[x]\setminus R$ 가 다음 조건을 만족시키면, 기약 다항식이라고 한다.

(기약원) 임의의 $q(x),r(x)\in R[x]$ 에 대하여, $p(x)=q(x)r(x)$ 라면, $\deg q(x)=0$ 이거나 $\deg r(x)=0$ 이다.

원시 다항식편집

다항식 $0\neq p(x)\in R[x]$ 의 내용(內容, 영어: content) $\operatorname {c} _{R}(p(x))$ 은 계수의 최대 공약수이다.

\operatorname {c} (p(x))=\gcd\{p_{0},\dots ,p_{\deg p}\}

내용이 가역원인 다항식(즉, 계수가 서로소인 다항식)을 원시 다항식(原始多項式, 영어: primitive polynomial)이라고 한다.

분류편집

복소수체 위의 기약 다항식편집

복소수체는 대수적으로 닫힌 체이므로, 기약 다항식은 1차 다항식뿐이다.

실수체 위의 기약 다항식편집

실수체 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 판별식이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.

증명:

1차 다항식의 기약성: 어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성: 어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성: 판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로, 기약 다항식이 아니다.
3차 이상의 다항식의 비기약성: $p(x)\in \mathbb {R} [x]$ 가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, 대수학의 기본 정리에 따라 복소수 영점 $z\in \mathbb {C}$ 가 존재한다. 만약 $z\in \mathbb {R}$ 라면, $\mathbb {R} [x]\ni x-z\mid p(x)$ 이므로 $p(x)$ 는 기약 다항식이 아니다. 만약 $z\not \in \mathbb {R}$ 이라면, 그 켤레 복소수 ${\bar {z}}$ 역시 영점인데, 이는 $p({\bar {z}})={\bar {p}}({\bar {z}})={\overline {p(z)}}={\bar {0}}=0$ 이기 때문이다. 따라서, $\mathbb {R} [x]\ni (x-z)(x-{\bar {z}})\mid p(x)$ 이므로, $p(x)$ 는 기약 다항식이 아니다.

성질편집

가우스 보조정리편집

$R$ 가 유일 인수 분해 정역이라고 하자. 다항식 $p(x),q(x)\in R[x]$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname {c} (p(x)q(x))=\operatorname {c} (p(x))\operatorname {c} (q(x))

특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 가우스 보조정리(Gauß補助定理, 영어: Gauss's lemma)라고 한다.

증명:

두 원시다항식 $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},$ $g(x)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}$ 의 곱

f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{m+n}c_{k}x^{k},\quad c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}

이 원시다항식이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 소수 $p$ 가 $c_{k}$ 의 공약수로 존재한다.

s=\min\{i:p\nmid a_{i}\},\quad t=\min\{j:p\nmid b_{j}\}

라고 하면, $p\nmid a_{s},$ $p\nmid b_{t}$ 이고, 임의의 $i<s,$ $j<t$ 에 대해 각각 $p\mid a_{i},$ $p\mid b_{j}$ 이다. $c_{s+t}$ 의 전개에서, $a_{s}b_{t}$ 외의 남은 항 $a_{i}b_{j}$ 는 $i<s$ 또는 $j<t$ 를 만족하므로(그렇지 않으면 $i+j>s+t$ 이어서 모순이다), 모두 $p\mid a_{i}b_{j}$ 이다. $p\mid c_{s+t}$ 도 성립함에 따라 $p\mid a_{s}b_{t}$ 이다. 따라서 $p\mid a_{s}$ 또는 $p\mid b_{t}$ 이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, $f(x)g(x)$ 는 원시다항식이다.